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espaces vectoriels
bonjour, alors voila j'ia un exercice que je trouve assez dur...je connais la méthode mais j'arrive pas à l'apliquer
soit A=(a{ij})Mn(K). on dit que A est centro symetrique si
quelque soit(i,j) a{i,j}=a{n+1-i,n+1-j}. montrer que l'ensemble Gn(K) des matrices centro symetriques est un sous espace vectoriel de Mn(K). En donner une famille generatrice.Cette famille est-elle libre?
(j'ai mit des {} parce que je savais pas comment on mettait les lettre en indice...donc c'est a indice i,j ...)
je sais qu'il faut montrer que F n'est pas vide et que quelque soit (a,b)appartenant a K et quelque soit (x,y) appartenant a F ax+by appartient a F mais je ne voit pas comment m'y prendre...
Bonjour 
Tout d'abord pour montrer que F n'est pas vide, il nous faut trouver une matrice centro symétrique.
Dans les exercices où on doit démontrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, très très souvent pour montrer que l'ensemble est non vide, on trouve un élément de F (ici une matrice) vraiment tout bête.
Si je te dis qu'une autre définition d'un sous espace vectoriel consiste à dire (dans un premier temps) que 0
F, tu as une idée pour une matrice toute bête qui serait centro symétrique ?
Oui voilà !
Tu as une idée pour la suite ?
quelque soit (x,y) appartenant a F ax+by appartient a F
ben je pensais prendre deux matrices bi,j et ci,j appartenant à Gln et lambda et mu appartenant à R mais après je vois pas ce que ça prouve...lambda bi,j+mu ci,j=lambda et apres?
Soit B=(bi,j)Gn(K). Soit C=(ci,j)Gn(K)
On pose A=
B+
C.
Donc A = (ai,j) = (bi,j+ci,j)
Quoi faire quand on est arrivé là ?
Tu sais que tes matrices B=(bi,j) et C=(ci,j) sont centro symétriques, donc tu peux remplacer les bi,j par bn+1-i,n+1-j et les ci,j par cn+1-i,n+1-j.
Tu as alors :
A = (bn+1-i,n+1-j+cn+1-i,n+1-j)
D'où :
A = (an+1-i,n+1-j)
Tu as montré que A = (ai,j) = (an+1-i,n+1-j) donc A est une matrice centro symétrique, c'est à dire A = B+C Gn(K).
Voilà.
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