Bonsoir,

j'ai, samedi, une khôlle de maths et j'aimerai faire un exercice pour m'entraîner car je galère vraiment sur ce chapitre (le cours est long, on va le finir demain, ce qui fait qu'on a encore fait aucun exercice (si ce n'est démontrer qu'on a un SEV)).

Si vous pouviez m'aider à comprendre cet exo je serai plus rassuré pour ma khôlle, sinon pas grave, on a l'habitude de se tapper des salles notes.


Soit E un espace vectoriel réel. On admettra que tout sous espace vectoriel H de E admet un supplémentaire.
Soit G un sous groupe de cardinal fini m de (GL(E),o) (donc un sous groupe composé d'un nombre fini d'automorphisme de E).
Soit F un sous espace vectoriel stable par tout élément g de D c'est à dire que F, g()F. A tout endomorphisme u de R, on associe u⁺ défini par:

u⁺= (1/m) g^-1ouog
              ^gG

1. Montrer que u⁺ est un endomorphisme de E commutant avec tout élément de G
2. En déduire (u⁺)⁺
3. Soit p un projecteur de E tel que Imp = F. Montrer que FIm p⁺
4. Montrer que pour tous g et h de G, on a g^-1opogoh^-1opoh=h^-1opoh (On pourra montrer que pour tt xE, on a g^-1opogoh^-1opoh(x)=h^-1opoh(x) )
5. En déduire que p⁺ est un projecteur
6. Montrer que Im p = Im p⁺
7. Montrer que Ker(p⁺) est un supplémentaire de F stable par tout élément g de G
8. En déduire que tout sev H stable par tout élément g de G admet un supplémentaire stable par tout g de G

Merci d'avance
(même si l'exercice n'est pas fini avant samedi, ma khôlle de la semaine prochaine porte aussi sur ce même chapitre (puisque c'est un gros chapitre il va durer 2 semaines) donc n'hésitez pas à m'aider ce week end également car j'ai envie de comprendre quand même)

Bonne soirée