Bonjour

ce ne sont pas les opérations qui sont stables, mais l'ensemble qui est stable pour ces opérations :
autrement dit, dès que je prends la somme de deux éléments quelconques de mon ensemble, je récupère un élément qui est encore dans mon ensemble,
et chaque fois que je fais le produit d'un scalaire par un élément de mon ensemble, je récupère encore un élément de mon ensemble .
On ne "sort" pas de l'ensemble, si tu veux

pour mieux comprendre un contre exemple : si tu prends l'ensemble des polynômes de degré 2 EXACTEMENT, il n'est pas stable pour la somme :
3X² + 2X -5 et -3X² + 6X +4 sont dedans, mais pas la somme, 8X - 1, qui n'est pas de degré 2.

faut il que l'ensemble d'éléments admette un élément neutre (0 et 1) chacun pour dire que c'est un espace vectoriel?
si oui faut il qu'il admette les deux ou juste un des deux (0 ou 1)

merci bcp

à partir du moment où tu as montré que ton ensemble est contenu dans un espace vectoriel connu, non vide, et stable pour l'addition et la multiplication externe (ou par combinaisons linéaires, d'un seul coup), tu es sûr que c'est un espace vectoriel, et il aura obligatoirement le même vecteur nul que l'espace qui le contient

et je ne vois pas ce que tu veux dire avec un "deuxième" élément neutre ? il n'y a qu'une loi interne ....

d'accord donc il faut d'abord démontrer que les opérations de somme et de multiplication par un scalaire vérifient un ensemble, alors on sait que c'est un espace vectoriel et donc qu'il contient l'élément neutre vecteur 0 pour la somme et l'élément neutre 1 pour la multiplication par un scalaire?!

c'est dans ce sens et non dans l'autre.
?

merci pour ces eclaircissements

en fait il peut exister un ensemble de n' importe quoi?
par exemple l'ensemble des polynômes de degré 2, l'ensemble des éléments dont la somme fait 1, etc....

ce que je veut dire c'est: est ce qu'il faut démontrer que c'est un espace vectoriel avant de dire qu'il contient les éléments neutre ou alors dire il ne contient pas l'élément neutre 0 donc il n'est pas espace vectoriel.

je t'ai répondu dans l'optique de ton post initial : SOUS espace vectoriel ! si tu n'es pas à l'intérieur d'un gros espace vectoriel connu, c'est différent : il faut vérifier les 8 axiomes !

et 1 n'est pas un élément neutre, puis qu'il n'est pas dans l'espace vectoriel, mais dans le corps des scalaires
ne mélange pas espace vectoriel et anneau ....