Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espaces vectoriels
Bonjour
J'ai un serieux soucis pour cet exercice ,on n'a pas eu l'occasion d'en faire beaucoup alors j'essaie de m'exercer...bref , vous pouvez maider ?
Soient IK le corps IR ou C ,E un kev et f un endomorphisme de E vérifiant f²=3f-2IdE.
1.Vérifier p =f-idE et q=2IdE-f sont deux projecteus de E .
d'après la définition p projecteur c'est laplication qui a x =xF+xG associe xF
mas ce n'est pas celle la que l'on va utiliser ...
idée : (f-idE)²=f-idE <=> f²-2idE+idE²=f-idE <=> f²-idE²=p²=p ben c'est un projecteur
Qu'en pensez-vous ,je peux le faire pour q ?
2.Justifier que p o q =qop=0 et que f = 2p+q
En déduire que pour tout n E IN ,f^n=2^np+q
faisons p+q projecteur =>(p+q)²=p+q=p²+pq+qp+q²=pq+qp=0 <=>pq=qp=0
on a donc p+q projecteur => poq=qop
par contre pour l'autre question je n'ai pas d'idée ...
3.Soit f : IK^3---> IK^3
(x,yx,z)--> (2x+y+z,-x-z,x+y+2z)
a.Vérifier que f est ben un endomorphisme de IK^3
euh ...definition : on a endomorphisme ssi l'application est bijective et IK^3=Ik^3
après je ne vois pas comment utiliser ça ...
b)Déterminer kerf et justifier que imf=IK^3
*kerf
soient (x,y,z)E IR^3 ,(x,y,z)E IR^3<=>f(x,y,z)=0
<=> 2x+y+z=0(1)
-x-z=0 (2)
x+y+2z=0 (3)
z=-x
dans (3) => -x+y=0 =>x=y
dans (1)=> 2x+x-x=0<=>x=0
en fait je trouve tout égae à zéro ,bizarre non ?
*Imf =IR^3
aucune idée ...
c)Calculer f² .En déduire que f²=3f-2IdE puis calculer p=f-Id et q
f² ? c'est dans l'énoncé non ?
d) En déduire lexpression de f^n(x,y,z) en fonction de n,x,y et z .
...
Voilà ,jespère que vous voudrez bien m'aider
merci ! ^^
Bonsoir.
Je pose IdE = e : endomorphisme identité de E. On a donc :
1°) Comme tu l'as pressenti, on calcule (f - e)²
Comme f et e commutent la formule du binôme convient. (f - e)² = f² - 2f + e
On remplace f² par 3f - 2e, cela donne bien (f - e)² = f - e
f - e est un projecteur
De même (2e - f)² = 4e - 4f + f² = 2e - f.
2e - f est un projecteur.
2°) pq = (f - e)(f - 2e) = O (voir encadré)
Comme f et e commutent, qp = pq.
Finalement pq = qp = O
p = f - e 
e = f - p
q = 2e - f f = 2e - q = 2(f - p) - q ... (calcul évident) ...
f = 2p + q
Pour fn = 2np + q, effectue une récurrence.
Bonsoir
Merci pour votre aide ^^
Je fais la récurrence :
Soit Pn:"f n =2 n p+q"
Initialisation :
pour n = 0
f°=1
2°p+q=p+q euh ...
Hérédité : On suppose pn vraie pour un certain rang n fixé ,n>0.
A-t-on f n+1 =2 n+1 p+q =2fn?
je ne sais pas trop comment m'y prendre :
f n+1 =2n*2q+q =2f ...
si non f n+1 =f*fn=f*2n*p+q mais ça ne donne rien
Evident :
fn+1 = fnf = (2np+q)(f)
= (2np+q)(p+e) = 2np² + 2np + qp + q
Mais p² = p, qp = 0
fn+1 = 2
2np + q = 2n+1p + q
oui ...merci!
Pouvez-vous me dire si l'idée pour le Ker est bonne ?
et un petit peu m'aider pour Im ...
3.Soit f : IK^3---> IK^3
(x,yx,z)--> (2x+y+z,-x-z,x+y+2z)
a) .Vérifier que f est bien un endomorphisme de IK^3
* on va bien de IK3 vers IK3
* on vérifie que f[a.(x,y,z) + b.(x,y,z)] = a.f(x,y,z) + b.f(x,y,z)
C'est juste une question de calcul élémentaire.
Conclusion : f est linéaire de IK3 vers IK3, donc f est un endomorphisme de IK3.
b)Déterminer kerf et justifier que imf=IK^3
On résout le système :
2x + y + z = 0
-x - z = 0
x + y + 2z = 0
On trouve pour seule solution (0,0,0), donc, Ker(f) = {O}
On sait que dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
Comme ici, dim(Ker(f)) = 0, on en déduit que dim(Im(f)) = dim(IK3) = 3
Conclusion : Im(f) = IK3
Remarquons que f est donc un isomorphisme de IK3 (application linéaire bijective)
On dit aussi : f est un automorphisme de IK3.
Donc,
3.a il faut en fait redémontrer la linéarité non ?
le cour nous donne directement f(a(x,y,z)+b(x,y,z))=a.f...
là c'est f((ax,bx)+...) on remplace et on retrouve a.f(x,y,z)etc oui ?
j'ai un peu de mal à conclure avec votre remarque , f est un automorphisme ?si f automorphisme alors l'application est bijective et l'ensemble de départ = ensemble d'arrivée ? on retouve la conclusion ?
Je ne comprends pas que tu te poses tant de questions Peut être parce que mes "primes" on sauté dans mon précédent topic. Un peu de courage :
f(a.(x,y,z) + b.(x',y',z')) = f(ax+bx', ay+by' + az+bz')
= (2(ax+bx')+ay+by'+az+bz' , -(ax+bx')-(az+bz') , ax+bx'+ay+by'+2(az+bz'))
= (a(2x+y+z)+b(2x'+y'+z') , a(-x-z)+b(-x'-z') , a(x+y+2z)+b(x'+y'+2z')
= a(2x+y+z , -x-z , x+y+2z) + b(2x'+y'+z' , -x'-z' , x'+y'+2z')
= a.f(x,y,z) + b.f(x',y',z')
Tu aurais pu le faire toi-même.
c)Calculer f² .En déduire que f²=3f-2IdE puis calculer p=f-Id et q
f² ? c'est dans l'énoncé non ?
d) En déduire l'expression de f^n(x,y,z) en fonction de n,x,y et z .
Non, ne rêve pas, ce n'est pas dans l'énoncé. Par contre, en fin de calcul, on pourra travailler au moyen des résultats de la partie antérieure.
f(x,y,z) = (2x+y+z , -x-z , x+y+2z)
f²(x,y,z) = f(f(x,y,z)) = f(2x+y+z , -x-z , x+y+2z)
= (2(2x+y+z)+(-x-z)+(x+y+2z) , -(2x+y+z)-(x+y+2z) , (2x+y+z)+(-x-z)+2(x+y+2z))
= (4x+3y+3z , -3x-2y-3z , 3x+3y+4z)
Calculons maintenant 3f - 2e
(3f - 2e)(x,y,z) = 3f(x,y,z) - 2e(x,y,z) = 3(2x+y+z , -x-z , x+y+2z) - 2(x,y,z)
= (6x+3y+3z , -3x-3z , 3x+3y+6z) - (2x , 2y , 2z)
= (4x+3y+3z , -3x-2y-3z , 3x+3y+4z)
Conclusion : On a bien
On se retrouve dans les conditions de l'énoncé.
p(x,y,z) = (f - e)(x,y,z) = (2x+y+z , -x-z , x+y+2z) - (x , y , z) = (x+y+z , -(x+y+z) , x+y+z)
q(x,y,z) = (2e - f)(x,y,z) = (2x , 2y , 2z) - (2x+y+z , -x-z , x+y+2z) = (-y-z , x+2y+z , -x-y)
On peut appliquer le résultat de la partie précédente : fn = 2np + q
fn(x,y,z) = 2np(x,y,z) + q(x,y,z)
fn(x,y,z) = 2n(x+y+z , -(x+y+z) , x+y+z) + (-y-z , x+2y+z , -x-y)
fn(x,y,z) = (2nx+(2n-1)y+(2n-1)z , -(2n-1)x-(2n-2)y-(2n-1)z , (2n-1)x+(2n-1)y+2nz)
J'espère ne pas avoir commis trop d'étourderies ou de fautes de frappe. Vérifie par toi-même avec les calculs que tu as certainement menés sur ton brouillon.
Bonne soirée.
Bonsoir
Pour moi c'est bon .
Je vous remercie pour votre disponibilité et votre aide (précieuse ,j'ai compris plus de choses )
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac