Bonsoir ,

- n=0 : Im f^q+0=Imf^q, pas de souci

- Supposons que c'est vrai au rang n : Im f^q+n=Im f^q.

Alors Im f^q+n+1=Im f^q+n, en effet :

- Si x appartient à Im f^q+n+1, x s'écrit x=f^q+n(f(y)) pour un y dans E, donc x appartient à Im f^q+n.

- Réciproquement : si x appartient à Im f^q+n, x=f^q+n(y)=fⁿ(f^q(y)). f^q(y) appartient à Im f^q=Im f^q+1, donc s'écrit f^q(y)=f^q+1(z) pour un z dans E. Et alors x=fⁿ(f^q(y))=fⁿ(f^q+1(z))=f^n+q+1(z) appartient à Im f^q+n+1.

Ainsi, Im f^q+n+1=Im f^q+n  = Imf^q par hypothèse de récurrence.

En espérant ne pas avoir fait de coquille... L'autre ça doit être à peu près pareil. Je ne sais pas s'il y a plus rapide, par contre.

Bonne soirée !

Bien, merci. Mais dans la suite du problème,, la question suivante est posée et je ne sais pas comment me servir de l'hypothèse d'avant :

On pose : I={k/Imf^k=Imf^k+1} et J={pKer^p=Ker^p+1}
Montrer que I={k/kminI]} et J={p/kminN]} En déduire que si MinIMinJ alors MinIN.

Merci d'avance.

Pour I : il s'agit de montrer que I contient tous les entiers à partir de son minimum. C'est-à-dire que : pour tout k≥Min(I), Imf^k=Imf^k+1.

Posons q=Min(I) : on a Im f^q=Imf^q+1 car q appartient à I. D'après la question précédente, on a que Im f^{q+n'importe quel entier naturel}=Imf^q.

Si k≥q, k s'écrit k=q+n pour un entier naturel n
et alors Imf^k=Imf^q+n=Imf^q (d'après la question précédente)
et Imf^k+1=Imf^q+n+1 aussi
Donc Imf^k=Imf^k+1, cqfd.