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Espaces vectoriels
Bonjour à tous, j'ai du mal dans la résolution de mon exercice sur les espaces vectoriels, car c'est un chapitre que je n'arrive pas beaucoup à assimiler, est ce que quelques uns d'entre vous pourraient m'aider?
Dans l'espace vectoriel R^3 muni d'une base (e1,e2,e3), on considère l'endomorphisme f défini par:
(c'est un système) f(e1)=e1+e3
f(e2)=-e1+e2-2e3
f(e3)=e2-2e3
1.a. Ecrire la matrice P de f dans la base (e1, e2, e3).
Ca m'aiderait beaucoup si vous pouviez m'aider sur cette question car j'y verrais déjà un peu plus clair sur les suivantes.
b. Calculer f²(e1),f^3(e1),f^3(e2) et f^3(e3).A cette question je ne vois pas où mettre le carré et le cube dans mon calcul.
c. On note Id l'application identique de R^3. Montrer que a, b et c sont trois nombres réels tels que aId+bf+cf²=0, alors a=b=c=0.
2.a Montrer que (e1,f(e1),f²(e1)) est une base de R^3.
b. Soit g un endomorphisme de R^3 tel que gof=fog et soit trois nombres réels a, b et c tels que g(e1)=ae1+bf(e1)+cf²'e1). Montrer qu'alors g=aId+bf+cf².
Merci d'avance ! 
Bonsoir.
1°) Tu sais que les colonnes de P seront les coordonnées des images des vecteurs de base par rapport à ces vecteurs.
f(e1) a pour coordonnées (1,0,1)
f(e2) a pour coordonnées (-1,1,-2)
f(e3) a pour coordonnées (0,1,-2)
Ce qui donne :
2°) f²(e1) = f(f(e1)) = f(e1+e3) = f(e1) + f(e3) = e1+e3 + e2- 2e3 = e1 + e2 - e3
f3(e1) = f(f²(e1)) = f(e1 + e2 - e3) = f(e1) + f(e2) - f(e3) = ...
je vais essayer de faire la suite, avec tes explications ca devrait aller mieux Désolée j'ai un petit problème pour calculer f3(e2)
Je fais :
Je calcule f²(e2) d'abord mais je tombe sur
f(-e1+e2-3e3)
=f(-e1)-f(e2)-f(3e3)
Ai je le droit de faire -f(e1)-f(e2)-3f(e3)?
Merci !
D'accord merci
Et pour la question 2) a.
Est ce que je me sers de la question d'au dessus où l'on doit prouver que a=b=c=0 ?(je n'ai pas encore fait cette question mais je peux admettre le résultat pour passer à la suite).
Je comptais ensuite admettre que la famille (e1,f(e1),f²(e1)) était une famille libre de 3 matrices de R^3 et que sa dimension était de 3 pour conclure que c'est bien une base de R^3.
J'ai pris exemple sur un autre exercice pour raisonner comme je l'ai fai, mais j'ai bien peur que cela ne s'applique pas à cet exercice..En plus j'admet des choses (par exemple la dimension) sans les prouver ..
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