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Espaces Vectoriels - Base
Bonjour à tous!
Soit E le sous espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs u1 = (1,2,2,-1), u2 = (2,1,1,1), u3 = (1,2,2,10) et u4 = (1,1,1,3).
Déterminer une base et la dimension de E.
Voilà je m'embrouille complètement.
via un petit système et en résolvant (du coup) 
1u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4 = 0
je trouve que ce n'est pas un système de Cramer (car je l'ai mis sous forme de matrice) et gamma1 gamma 2 et gamma 3 s'écrivent via le paramètre gama4.
A partir de là, normalemetn donc la famille de u1, u2, u3, u4 n'est pas libre.
Mais après on me dit que vu que u4 est combinaison linéaire des autres alors (u1,u2,u3) est une base de E. J econnais cette règle mais bon qu'est ce qu'elle vient faire ici??
Bonsoir.
Effectivement les quatre vecteurs sont liés.
On vérifie que trois d'entre eux sont indépendants.
Donc, dim(E) = 3.
Mais alors ça veut dire que la famille (u1,u2,u3,u4) est liée.
Or nous avons démontré que u4 est combinaison linéaires des 3 autres.
Donc maintenant la famille (u1,u2,u3) est LIBRE.
C'est bien ça?
Merci aux personnes qui répondront.
Dire que les quatre vecteurs sont liés ne signifie pas automatiquement que les trois premiers sont indépendants.
Mais pourtant il est affirmé que (à cause de cette combinaison linéaire), (u1,u2,u3) est une base de E et nous avons dim E = 3.
Si c'est une base il faut bien que (u1, u2, u3) soit une famille libre et donc que les 3 premiers soient indépendants? 
Merci!
Oui, mais tu dois vérifier que les vecteurs u1 , u2, u3 sont indépendants.
Tu dois étudier : a.u1 + b.u2 + c.u3 = O
Effectivement, on trouve bien a = b = c = 0
Donc, ...
Merci!
j'ai une autre question dans le même domaine.
Nous avons :
n entier naturel tel que n 
3.
E = 
n-1 [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré strictement inférieur à n.
Soit Fa = {P
E /P(a) = 0}
Il s'agit de montrer que la famille des polynômes ((X -a), X(X-a), X²(X-a),..., Xn-2(X -a)) forme une base de Fa.
Déjà, j'ai "trouvé" que dim E = n selon le cours.
Or il y a une règle qui dit que :
Soit Z un e.v. de dim. finie avec dim Z = n. Alors toute famille libre de n vecteurs est une base de Z.
Le problème c'est que je ne connais pas la dimension de Fa et j'aurai pet être pu affirmé que cette famille était libre car tous les degrés sont différents 2 à 2.
Merci aux personnes qui me répondront
Désolé pour le "up" mais personne n'a d'idées?
Je planche dessus depuis quelques heures et toujours impossible de trouver.
Autre sujet : autre topic. Merci d'en tenir compte la prochaine fois.
Tu prends la question à l'envers.
L'espace IRn-1[X] est de dimension n.
On sait que sa base canonique (la plus naturelle) est 1,X,...,Xn-1
1°) Considérons l'ensemble Fa des polynômes s'annulant en A.
¤ Fa est non vide car le polynôme nul s'annule en a.
¤ Si P et Q sont dans Fa, c et d deux réels, (c.P + d.Q)(a) = c.P(a) + d.Q(a) = 0
Donc, c.P + d.Q est dans Fa.
Conclusion : Fa est un sous-espace vectoriel de IRn-1[X].
2°) P est dans Fa
P(a) = 0
P(X) = (X-a)(k0 + k1X + ... + kn-2Xn-2)
P(X) = k0(X-a) + k1X(X-a) + ... + kn-2(X-a)Xn-2
On en déduit que :
la famille des n - 1 vecteurs : ((X-a) , X(X-a) , (X-a)Xn-2) est génératrice de Fa.
Pour voir si elle est libre, tu as deux choix suivant ton niveau de connaissances.
a) Si tu connais la dualité, tu peux dire que Fa est le noyau de la forme linéaire 
non nulle définie par (P) = P(a).
On sait que ce noyau est un hyperplan de IRn-1[X]. Donc, Fa est de dimension n - 1.
On en déduit que la famille des n - 1 vecteurs ((X-a) , X(X-a) , (X-a)Xn-2) est libre et qu'elle forme bien une base de Fa.
b) Si tu ne connais pas la dualité, tu dois montrer que ((X-a) , X(X-a) , (X-a)Xn-2) est libre.
Tu peux alors dire que cette famille est graduée par les degrés, donc, libre.
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