Niveau Maths sup

espaces vectoriels de dimension finie

Posté par
Poitevin 05-04-08 à 15:29

bonjour, j'ai un petit problème sur un exercice qui pourtant me semble ne pas être très difficile, je vous serait reconaissant de m'aider, voici l'exercice:

E et F sont deux K espaces vectoriels de dimension finie, f et g deux applications linéaires de E dans F.
M.q. rg(f+g)=rg(f)+rg(g) (Im(f) Img = {O} ET Ker f + Ker g = E.

j'ai utiliser le théorème du rang, et je suis arrivé (il me semble) à prouvé : Im(f+g)=Imf + Img...

Posté par re : espaces vectoriels de dimension finie 05-04-08 à 17:39

je relance mon post au cas ou...

Posté par re : espaces vectoriels de dimension finie 05-04-08 à 17:53

Salut

$3$\rm \fbox{\Rightarrow}$
Comme $3$\rm Im(f+g)\subset Im(f)+Im(g)$ on a $3$\rm rg(f+g)\le rg(f)+rg(g)-Dim(Im(f)\cap Ker(g))$

Ainsi si $3$\rm rg(f+g)=rg(f)+rg(g)$ alors $3$\rm Dim(Im(f)\cap Ker(g))=0$ , c'est à dire $3$\rm Im(f)\cap Ker(g)=\{0\}$
Voila déjà une chose de faite.

Mais alors $3$\rm Im(f+g)=Im(f)+Im(g)$ .
Fixons x dans E. Il existe y tel que $3$\rm f(x)=(f+g)(y)$ puisque $3$\rm Im(f)\subset Im(f+g)$
Par conséquent $3$\rm g(y)=f(x-y)=0$ car $3$\rm x-t\in Im(f)\cap Im(g)=\{0\}$
Ainsi $3$\rm y\in Ker(g)$ et $3$\rm x-y\in Ker(f)$
D'où $3$\rm x=(x-y)+y\in Ker(f)+Ker(g)$ et on a bien $3$\rm E=Ker(f)+Ker(g)$

$3$\rm \fbox{\Leftarrow}$

Soit $3$\rm y\in Im(f)$

$3$\rm y=f(x)$ avec x dans Im(f) et $3$\rm x=\alpha+\beta$ avec $3$\rm (\alpha,\beta)\in Ker(f)\times Ker(g)$ .

Alors on a $3$\rm y=f(\alpha)+f(\beta)=f(\beta)=f(\beta)+g(\beta)=(f+g)(\beta)\in Im(f+g)$

Ie $3$\rm Im(f)\subset Im(f+g)$
par symétrie des rôles on a $3$\rm Im(g)\subset Im(f+g)$
Alors $3$\rm Im(f)\oplus Im(g)\subset Im(f+g)$ et comme $3$\rm Im(f+g)\subset Im(f)\oplus Im(g)$ on a ce qu'on veut, à savoir $3$\rm Im(f+g)=Im(f)\oplus Im(g)$

Posté par re : espaces vectoriels de dimension finie 05-04-08 à 23:07

merci beaucoup!
En fait mon unique problème se situe au tout début:

pourquoi dans l'inégalité a-t-on
rg(f)+rg(g)-Dim(Im(f)Ker (g)),
et non
rg(f)+rg(g)-Dim(Im(f)Im (g)) ?

Posté par re : espaces vectoriels de dimension finie 05-04-08 à 23:39

Oui une petite étourderie, dans les 2 premières ligne c'est bien Im(g)

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