bonsoir,

montre déjà que cet ensemble de fonction f n'est pas vide... (il doit contenir la fonction nulle)

puis qu'il est stable par combinaison linéaire ...

ainsi ce sera un sous espace vectoriel des fonctions définies sur R
(je pense que ton énoncé est incomplet et qu'on s'intéresse à l'ensemble des fonctions f définies sur R telles qu'il existe un polynôme P solution de (E)... mais que le polynôme P n'est pas le même pour toutes les fonctions de l'ensemble)

alain

j'aimerais être sûr de ton énoncé :



F={f définies dérivables sur telles que P[X] ; P solution de E_f sur }

Montrer que F est un espace vectoriel isomorphe à [X]

C'est cela ?

Bonsoir,

là encore c'est moi qui ai orienté amelie22 sur une fiche d'exos du net que j'ai trouvée intéressante.
C'est bien ainsi que j'ai compris l'exercice, Alain.
Cependant, après y avoir réfléchi, l'énoncé me paraît faux :

F est bien un s.e.v de l'ensemble des fonctions polynômes (c'est assez immédiat), par contre il ne peut pas lui être isomorphe (et donc il ne le sera pas non plus avec R[X]) parce que la fonction id: x -> x par exemple n'est pas dans E !

Enfin, la question 2 est assez peu intéressante et fort calculatoire à mon goût (à moins qu'il y ait une astuce que je n'aie pas vue): désolé amelie22, mais j'ai mal choisi l'exercice!

ben oui, c'est pour cela que je demandais une confirmation de l'énoncé TigWeg... j'étais arrivé à la même conclusion... et encore plus simple : avec un polynôme constant (mais pas nul quand même)

Oui, tout-à-fait...J'aurais dû faire l'exercice avant de le proposer, mais j'ai fait confiance: c'est tiré d'une feuille d'exos de la fac de Jussieu, je crois...

bon alors du coup je m'interesse qu'au debut de la question 1

pour montrer que pour f nulle, la solution est un polynome, je resous : y' = ( -(2x^2+3)/(x*(x^2+1)) ) *y

ca revient à chercher une primitive de -(2x^2+3)/(x*(x^2+1)) = A(x)

je decompose, je finis par trouver  A(x) = (-2*x)/(x^2+1)  -  3/x  +  (3x)/(x*(x^2+1))

de primitive :  - ln(1+x^2) - 3 ln(x)  + (3/2) ln(1+x^2)

mais ce n'est pas un polynome????

oups pardon j'ai oublié de finir !!

en resolvant l'equa diff je trouve bien un polynome !
bon je continue demain!

Tu t'es trompée dans la décomposition, cela donne -3/x + x/(x²+1) .

Attention en primitivant, tu as oublié la constante.

Les primitives ne seront pas des polynômes, sauf 0.


Mais tout cela est inutile, car il suffit de démontrer que pour f nulle, il existe un polynôme solution, et non pas que toute solution est un polynôme, nuance!

Or cela peut se voir sans donner la forme explicite des solutions de l'équa diff: il suffit d'observer tout bêtement que 0 est solution particulière!

Bonne nuit!

pas d'accord avec ta primitive Amélie... au niveau du 3x/(x*(x^2+1))

ne te compliques pas la vie : le polynôme nul est solution !

sinon cela donne de l'arctangente

alain

je crois pas TigWeg...

c'est pas plutôt 2/x + 1/(x^2+1) qu'on doit primitiver ?

ah non mince, je me suis gouré aussi !!!!

Eh bien, on a bien -(2x^2+3)/(x(x^2+1)) = -3/x + x/(x²+1), non?

tu as raison Tigweg... pardon !

il se fait tard et ça veut jouer les "kékés" en le faisant de tête !!!!

Lol!

Bon les amis je vous laisse, je commence à fatiguer moi aussi!
Bonne nuit!

oui, moi aussi, c'est net !

bonne nuit à vous,

alain

Bonjour à vous deux,

une petite nuit de sommeil et c'est reparti comme en 40!

Déjà mea culpa, l'ensemble des fonctions f solutions à la question 1 est bien un espace vectoriel V isomorphe à R[X], même s'il est difficile à expliciter.
Cependant, cette démonstration dépasse le programme de Première année donc ne sera pas directement utile aux révisions d'amelie22.Tu peux néanmoins essayer de la comprendre, ce n'est pas si difficile que cela à sentir.


Allons-y:

*C'est bien un espace vectoriel sur R et il est constitué exclusivement de fonctions polynômes à coefficients réels (immédiat), donc comme R est infini, on a bien affaire à un espace isomorphe à un s.e.v de R[X]

*Il est de dimension infinie.Sinon, il serait engendré par un nombre fini de fonctions polynômes, et ses éléments seraient tous de degré inférieur ou égal au degré maximal n des polynômes constituant la famille génératrice précédente.

Or, cela est impossible car on vérifie immédiatement que pour tout polynôme y de degré n, le f qu'on récupère en face est un polynôme de degré n+2 (car de coefficient dominant (n+2)a_n), et le f en question est un élément de V.


Or, tout sous-espace vectoriel V de R[X] de dimension infinie lui est isomorphe, puisque si (Pn) désigne une base de V, son cardinal est infini dénombrable, donc il existe une unique application linéaire

u :R[X] -> V

Xⁿ -> Pn

u est injective par liberté des (Pn), donc u est une injection linéaire d'un R-e.v. sur l'un de ses s.e.v.
U est donc nécessairement surjective, donc c'est un isomorphisme de R[X] sur V.



Pour la question 3, on trouve que si f est de degré 3, y est nécessairement de degré 1, en vertu de la remarque sur le degré faite précédemment.

Remarques:

*pour n<2, il n'existe aucun polynôme y solution de l'équa diff.

*Pour n=2, les éléments de degré 2 de V sont exactement les multiples non nuls de la fonction polynôme x->2x²+3, autrement dit la droite vectorielle engendrée par cette fonction polynôme, et privée de la fonction nulle.

*Pour n=3, les éléments de degré 3 de V sont les éléments du plan vectoriel engendré par les fonctions polynômes , et privé de la droite vectorielle de base (pour que le degré soit bien 3).


Qu'en pensez-vous?

je ne comprends pas pourquoi vous dites que ma decomposition est fausse :
je decompose:  (-3)/(x*(x^2+1)) = a/x + (m*x+p)/(x^2+1)

pour a : ok, je multiplie tout par x, j'évalue en 0 --> a=-3
pour m et p : je mets tout au meme denominateur et j'identifie :  ca fait : -3(1+x^2) + x*(m*x+p) =-3
d'où -3*x^2+m*x^2+p*x =0  d'ou p=0 et m=3 non ???

Sauf que c'est (-2x²-3)/(x(x²+1)) qu'il faut décomposer...

bonjour Tigweg

pardon, mais je ne comprends pas du tout ton argument selon lequel V serait de dimension infinie...

n'y a-t-il pas une confusion entre le degré de f (élément de V) et le degré du polynôme solution de Ef ?

alain

par contre, ce qui est clair, c'est que f ne peut être de degré 0 ou 1 (car n+2 >= 2)

bon et pour montrer que c'est stable par combinaison lineaire,
j'ai pris f et g qui admettent chacune un pol en solution
et j'ai regardé uf+vg et ca admet aussi un pol en solution

voilà je m'arrete là pour cet exo !

"Sauf que c'est (-2x²-3)/(x(x²+1))  qu'il faut décomposer... "

NON !

j'ai fait  :  (-2x²-3)/(x(x²+1)) = (-2*x^2)/(x(x²+1)  - 3/(x(x²+1)

= (-2*x)/(x^2+1) - 3/(x(x²+1)

et du coup la decomposition je ne la fais que pour - 3/(x(x²+1)

et je me retrouve avec (-2x²-3)/(x(x²+1)) = (-2*x)/(x^2+1)  -  3/x  +  (3x)/(x*(x^2+1))

Salut Alain

Non, je ne pense pas: imagine que V = Vect (f1;f2;...;fk) soit de dimension finie k, autrement dit que toute fonction f telle qu'il existe un polynôme P vérifiant l'équa diff puisse s'écrire f= a1.f1 + ... + ak.fk.

Alors tout f de V aura un degré inférieur ou égal à n=max(deg(f1);...;deg(fk)).

Or pour tout polynôme P de degré n, il existe f de degré n+2 dans V, par exemple f(x) = x(x2+1)P'(x)+(2x²+3)P(x).

Contradiction.

et pour montrer l'isomorphisme avec [X], à mon avis il suffit de considérer l'application de [X] dans V qui à Xⁿ associe la fonction polynôme f(x)=x(x²+1)(nx^n-1)+(2x²+3)xⁿ
et montrer que c'est bijectif...

ah oui, ok, maintenant j'ai compris ton raisonnement...

merci

amelie22 -> C'est faux, il faut récupérer des fractions avec des dénominateurs premiers entre eux deux à deux, ici:

donc la décomposition de - 3/(x(x²+1)) s'écrira a/x + (bc+c)/(x²+1)

Alain -> Oui ça doit marcher aussi, mais ma démo évite d'avoir à "mettre les mains dedans"!

desolee jme suis trompée en recopiant, je voulais dire :

et je me retrouve avec (-2x²-3)/(x(x²+1)) = (-2*x)/(x^2+1)  -  3/x  +  (3x)/(x^2+1)

j'ai oublié de préciser... pour mon application précédente :

et qui à 0 associe 0 !

on la définit par linéarité pour tout polynôme P et elle est surjective par définition de V

et si deux polynômes ont la même image, alors leur différence est solution de l'équation sans second membre... qui n'a pas d'autre solution polynomiale que le polynôme nul...

cela marche bien

alain

amelie22 -> Eh bien, rassemble donc tes morceaux, sur quoi tombes-tu?
Ma méthode est plus directe!

Alain->Oui, je suis d'accord.

oui TigWeg, tu as tout à fait raison : la tienne est beaucoup plus élégante...

mais peut-être un peu difficile d'abord pour quelqu'un qui découvre les espaces vectoriels...

la mienne est plus "bourrin" mais n'utilise que les définitions de base (c'est le cas de le dire !)

alain

Oui,
dans un souci pédagogique tu as tout-à-fait raison, même si amelie22 semble ne plus vouloir donner suite à cet exercice!

pourtant je le trouvais rigolo !

Lol! Finalement, moi aussi!

pas moi !