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Espaces vectoriels : systèmes libres ou liés.
Bonsoir,
J'ai un exercice à resoudre sur les espaces vectoriels, et j'avoue que c'est un peu le flou total.
Je dois dire si des systèmes donnés sont libres ou liés, mais je n'arrive pas a comprendre comment trouver, même en repartant de la définition d'un système libre.
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre le premier, afin que je me débrouille avec les autres?
Voici l'énoncé :
Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et de base B=(e1, e2). Les systèmes suivants sont-ils des systèmes libres ou liés? Sont-ils des bases?
1) (2e1 + e2, -e1 + e2)
Pour savoir si c'est une base, je sais qu'il faut que le système soit libre et générateur, si j'ai compris, normalement ici, ce système est générateur, reste à savoir si il est libre ou non...
Merci d'avance pour votre aide et vos réponses.
Bonsoir.
Pour savoir si le système donné est libre ou non, étudie l'équation :
a(2e1+e2) + b(-e1+e2) = O
Regroupe en e1 et e2 puis utilise l'indépendance de (e1,e2)
C'est justement à l'étape d'après que je bloque, une fois que j'ai :
e1(2a-b) + e2(a+b) = 0, je fais comment? Et comment utiliser l'indépendance de (e1, e2)?
Par avance, merci. Et merci Raymond pour cette première réponse.
Comme (e1,e2) est une base, les vecteurs e1 et e2 sont indépendants.
Ton égalité est donc équivalente au système :
2a - b = 0
a + b = 0
Ce système n'admettant que la solution a = b = 0, 2e1+e2 et -e1+e2 sont indépendants.
Ah d'accord! merci beaucoup!!
Donc (2e1+e2, -e1+e2) est libre, c'est bien cela?
Et encore une fois merci!
Oui, elle est libre et comme l'espace E est de dimension deux, elle constitue une base de E.
Bonne soirée. RR.
Merci beaucoup!
Si j'ai tout compris, le système (e2, e1+2e2, -e1+2e2) est libre, car j'ai b=c=-a/2, c'est cela?
Tu n'as pas de " c "
2a - b = 0
a + b = 0
(1) => b = 2a.
En reportant dans (2) : 3a = 0, donc, a = 0 et enfin, b = 0.
Je suis d'accord, mais la c'était un nouveau système que j'ai essayé de faire seule. Je voulais être sure d'avoir compris.
Et merci d'avoir tant de patience pour me faire comprendre!
Je peux difficilement me prononcer sur un système dont je ne connais pas l'énoncé.
Peux-tu m'en donner l'origine ?
Excuse moi, je n'avais pas vu ton autre système.
a + 2b + 2c = 0
b - c = 0
Ce système admet visiblement d'autres solutions que (0,0,0).
Par exemple : b = c = 1 et a = -4
Ceci signifie que ton système n'est pas libre
De toute façon, dans un espace de dimension deux, trois vecteurs sont forcément dépendants.
Les questions sont les mêmes que précedemment à savoir si c'est un système libre ou lié, et si c'est une base.
Et le système est : (e2, e1+2e2, -e1+2e2).
Je viens de reposter aussi, n'ayant pas vu la solution.
Mais j'ai compris, merci beaucoup! Les espaces vectoriels me paraissent bien plus clairs maintenant. Merci beaucoup!!
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