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espaces vecvectoriels
Bonjour alors dans le cadre d'un devoir maison on pose l'exo suivant :
Soit F={(x;y;z;t)
^4 /x+y+z=0 et 2x-y-z-3t=0}
1) montrer que F est un sous espace vectoriel de ^4 ( çà je l'ai fait sans souci) et donner 2 vecteurs e1 et e2 de ^4 tels que F=vect(e1,e2)
je n'ai pas très bien compris cette question
2) Soit e3 e4 e5 3 vecteurs de E montrer que
vect(e3,e4,e5)=vect(e3,e4)
e5 combinaison linéaire de e3 et e4
3)on pose e3=(1,1,1,1) e4=(1,2,3,4) et G=vect(e3,e4,e5)
a) montrer que G=vect(e3,e4)=vect(e3,e5
b) montrer que F et G supplémantaires
4) Soit f : E
² définie par 
(x;y;z;t) ^4 f(x;y;z;t)=(x-2y+z , y-2z+t)
a) montrer que f L(^4,²)
b) mq que G
ker(f), f injective ?
c) ker(f)=G ?
d) donner les antécédents de v1=(0,1)
e) Si v non nul, f^(-1) ({v}) est il un sous espace vectoriel de ^4?
Voilà, en espérant que vous pourrez m'aider merci
Bonjour omarion_91,
1. Il faut trouver deux vecteurs qui génèrent F, ils doivent donc être indépendants. Soit un vecteur u(x,y,z,t). u appartient à F si, et seulement si, x+y+z=0 et 2x-y-z-3t=0 d'où un système à résoudre par la méthode du pivot. Quand tu auras finis de pivoter, choisis deux vecteurs indépendants vérifiant ce système.
3. b) Pour montrer que F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est nulle puisqu'on est en dimension finie.
masterrr 
Si F=Vect(e3,e4,e5)=Vect(e3,e4) alors (e3,e4,e5) et (e3,e4) génèrent F. Donc e5 est combinaison linéaire de e3 et e4.
Pour le montrer, je fixerais un élément x de F. x appartient à Vect(e3,e4,e5) donc il existe trois scalaires a, b et c tels que x=ae3+be4+ce5. Et x appartient à Vect(e3,e4) donc il existe deux scalaires d et f tels que x=de3+fe4.
Et en égalant les deux relations on obtient bien que e5 est combinaison linéaire de e3 et e4 (il faut distinguer le cas où c est nul, mais si c est nul alors il est bien combinaison linéaire de e3 et e4).
Il reste à montrer la réciproque.
Toutefois, je ne suis pas certain de mon résultat donc je laisse le soin à quelqu'un d'autre de t'aider et/ou de me corriger.
ok merci à vous moi aussi j'essaie de faire l'exo en même temps
lol oui mais c'est déja une piste, c'est mieux que rien 
Ma démonstration me semble correcte, mais je ne voudrais pas t'induire en erreur...
Pour la réciproque, suppose que e5 est combinaison linéaire de e3 et e4 (c'est-à-dire qu'il existe deux scalaires a et b tels que e5=ae3+be4). Ensuite, tu dois montrer une égalité entre deux espaces. Il faut donc raisonner par double inclusion : soit x un vecteur appartenant Vect(e3,e4,e5), montre qu'il est dans Vect(e3,e4) (évidemment d'après l'hypothèse : e5 est combinaison linéaire de e3 et e4...) puis fixe x appartenant à Vect(e3,e4) et montre qu'il est dans Vect(e3,e4,e5) (également trivial...).
Non ?
je n'en suis pas encore là mais il me semble que ton raisonnement est correct
en fait j'ai un doute sur mes solutions du système de la question 1 il me semble que c'est un problème de méthode j'ai posé dès le départ t=0, ce qui me ramène à un système de 2 équations à 3 inconnues et je suppose z connu puis je me débrouille mais j'ai vraiment le droit de poser t=0?
Pour montrer que F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est nulle puisqu'on est en dimension finie.
Vous dites cela car on a des vecteurs fixés?
Une seule chose à retenir en ce qui concerne la résolution des systèmes : LE PIVOT DE GAUSS ! Et aucun autre méthode. Il s'agit d'un algorithme qui conduit au résultat. Pas besoin de se perde en faisant de multiples substitutions.
x+y+z=0
2x-y-z-3t=0
équivaut à
x+y+z=0
-3y-3z-3t=0
équivaut à
x=-2z-t
y=z+t
On a donc deux degrés de liberté (z et t peuvent être choisis comme on veut, ils imposeront les valeurs de x et y). Donc on prenant t=0 et z=1, il vient y=1 et x=-2 : soit (-2,1,1,0) une solution.
Et en prenant t=1 et z=0, il vient y=1 et x=-1 : soit (-1,1,0,1) une solution.
Ces deux vecteurs étant indépendants, ils forment une base de l'espace en question.
Je n'ai pas compris ta question. Deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vectoriel E sont en sont supplémentaires dans E si, et seulement si, E=F+G et F
G={0}.
En dimension finie, pour montrer que deux espaces sont supplémentaires, il suffit de montrer l'une ou l'autre condition (sachant qu'il est bien souvent plus facile de montrer que l'intersection est réduite à 0).
Bonjour à vous et encore merci de m'aider
il faut dire que çà faisait longtemps que j'avais pas résolu un système
ha j'ai du me faire mal comprendre pour les espaces vectoriels supplémentaires
là je suis à la question a) du 4)
Ça fait longtemps que tu n'as pas résolu de système ? Tu n'es pas en sup ?
Tu n'as pas fait la question concernant les supplémentaires alors ?
Pour la 4a, il faut montrer que f est linéaire ; c'est-à-dire que pour tout vecteurs u et v de E et pour tout scalaire a et b, f(au+bv)=af(u)+bf(v).
Fixe donc u(u1,u2,u3,u4) et v(v1,v2,v3,v4) deux vecteurs de R^4 ainsi que a et b deux scalaires. Puis calcule f(au+bv) et par simple vérification tu vas obtenir que c'est égal à af(u)+bf(v).
Tu auras donc montré que f est une application linéaire de R^4 dans R^2.
non je n'ai pas traité cette question je verrai avec mes camarades demain
oui je suis en sup
et j'ai fait le 4-a) merci de votre aide je passe donc à la b)
j'ai prouvé que G ker(f) et que f était injective
pour la c) peut on résonner par l'absurde, c'est à dire on suppose que ker(f)=G donc on aurait forcément ker(f)dans G et on regarde si c'est vrai
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