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est- ce que vrai ou faux

Posté par
sabaga 05-12-11 à 09:39

       je ne peux pas démontrer cet égalité aidez-moi c.v.p

\[\frac{1}{{{x^2} + yz}} + \frac{1}{{{y^2} + xz}} + \frac{1}{{{z^2} + xy}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}}} \right)\]

Posté par
carpediemre : est- ce que vrai ou faux 05-12-11 à 12:10

bonjour ..... peut-être .....

x ? y ?  z ?


c.v.p  

Posté par
cislaire76re : est- ce que vrai ou faux 05-12-11 à 21:37

Soit x, y,z 3 reels positifs.
On sait que x>0
1/(x²+yz)1/yz  (1)
De même y>0
1/(y²+xz)1/xz (2)
enfin z>0
1/(z²+xy)1/xy (3)
En additionnant (1) + (2) + (3) on obtient
1/(x²+yz) + 1/(y²+xz) + 1/(z²+xy) 1/yz + 1/xz + 1/xy (1/yz + 1/xz + 1/xy)/2 1/2 x (1/yz + 1/xz + 1/xy)  
NB: Il faut constater que en additionnant les 3 équations, la quantité de gauche divisé par 2 est toujours inférieure à la quantité de gauche de l'équation à démontrer.

Posté par
lolo271re : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 11:15

euh  l'inégalité du milieu est fausse là !

Posté par
nipargre : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 18:30

bonsoir
on suppose que x,y et z sont strictement rpositifs
rien n'interdit de supposer que 0<xyz
alors \frac{1}{x^2+yz}\le \frac{1}{2yz}, en effet
\frac{1}{x^2+yz}- \frac{1}{2yz}=\frac{(yz)-x^2}{2yz(x^2+yz)}\ge 0
sauf erreur de calcul
je vous laisse terminer

Posté par
nipargre : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 18:35

oubliez ce calcul:mon raisonnement est faux

Posté par
Drassebre : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 19:06

Bonsoir sabaga.

Même question que carpediem : quelles sont les conditions sur x,y et z au départ, s'il y en a à part les valeurs interdites ?

(Au passage, on a déjà l'égalité si x=y=z, mais sûrement qu'on s'en fiche un peu...)

Posté par
lolo271re : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 20:03

Bonjour,

Il est plus que vraisemblable que la seule condition soit la positivité, ça ressemble à l'inégalité du réordonnement mais il doit y avoir plus ......

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 20:30

\[x;y;z > 0\]

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 06-12-11 à 20:42

\[\left\{ \begin{array}{l} \\ {x^2} + yz \ge yz\\ \\ {y^2} + xz \ge xz\\ \\ {z^2} + xy \ge xy \\ \end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} + yz}} + \frac{1}{{{z^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xz}} \le \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{xz}}\]

Posté par
lolo271re : est- ce que vrai ou faux 07-12-11 à 10:38

ça c'est clair mais ne donne pas ce qu'on veut .

Une idée de départ possible (après je bloque) :

OPS   x <=  y <= z  , alors   1 /x >= 1/ y >= 1/ z

et A = 1/ [1 + yz/x2]  <=B=  1/[ 1+ xz/y2] <=C=  1/ [1 + xy/z2]

la quantité à majorer est  A/x2 + B/y2+ C/z2

c'est un somme de produit où on a multiplié les plus gros termes par les plus petits : bref cette quantité est majorée par

A/y2 + B/z2 + C/x2  =W   idem avec les autres permutations ......on peut majorer par les moyennes de ces majorants mais ça n'a pas l'air de se simplifier....

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 11-12-11 à 22:16

$\forall x > 0;\forall a > 0:{\left( {x + \sqrt a } \right)^2} = {x^2} - 2x\sqrt a  + a \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ {x^2} + a \ge 2x\sqrt a \\ \\ \frac{1}{{a + {x^2}}} \le \frac{1}{{2x\sqrt a }} \\ \end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ \frac{1}{{{x^2} + yz}} \le \frac{1}{{2x\sqrt {yz} }}\\ \\ \frac{1}{{{y^2} + xz}} \le \frac{1}{{2y\sqrt {xz} }}\\ \\ \frac{1}{{{z^2} + yx}} \le \frac{1}{{2z\sqrt {xy} }} \\ \end{array} \right.$
$ \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} + yz}} + \frac{1}{{{y^2} + xz}} + \frac{1}{{{z^2} + xy}} \le \frac{1}{{2x\sqrt {yz} }} + \frac{1}{{2y\sqrt {xz} }} + \frac{1}{{2z\sqrt {xy} }}$

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 11-12-11 à 22:20

on à
${\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2} \ge 0 \Rightarrow x + y \ge 2\sqrt {xy} $
donc:$\frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {yz}  + \sqrt {xz}  + \sqrt {xy} }}{{xyz}}} \right) \le \frac{1}{2}\frac{{\frac{1}{2}\left( {y + z} \right) + \frac{1}{2}\left( {x + z} \right) + \frac{1}{2}\left( {x + y} \right)}}{{xyz}} = \frac{1}{2}\frac{{x + y + z}}{{xyz}}$
enfin
$\frac{1}{2}\frac{{x + y + z}}{{xyz}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}} \right)$

Posté par
lolo271re : est- ce que vrai ou faux 12-12-11 à 09:58

joli

Posté par
carpediemre : est- ce que vrai ou faux 12-12-11 à 20:03

tête à fou ....

Posté par
carpediemre : est- ce que vrai ou faux 12-12-11 à 20:04

à une erreur près dans ton post de 22h16

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 16-12-11 à 21:11

aidez-moi
est-ce-qu'il y une idée pour permettre
$\forall x;y;z \in R:\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \frac{z}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 16-12-11 à 21:13

x;y;z>0

Posté par
abou-salmare : est- ce que vrai ou faux 16-12-11 à 21:39

Lorsque x (resp. y et z) tend vers + l'infini, x/(x2+1) tend vers 1.
La formule à démontrer est fausse.

Posté par
abou-salmare : est- ce que vrai ou faux 16-12-11 à 21:41

Il semble qu'il manque une relation entre x,y et z.

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 16-12-11 à 21:46

\[ \\ \begin{array}{l} \\ \sum {\frac{a}{{\sqrt {a^2  + 1} }}}  = \sum {\frac{a}{{\sqrt {a^2  + \frac{{abc}}{{a + b + c}}} }}}  = \sum {\frac{{\sqrt {a(a + b + c)} }}{{\sqrt {(a + b)(a + c)} }}}  \\ \\   = \frac{{\sqrt {a + b + c} }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(a + c)} }}\sum {\sqrt {ab + ac} }  \le \frac{{\sqrt {a + b + c} }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(a + c)} }}.\sqrt {6(ab + bc + ca)}  \\ \\   = \sqrt 6 .\frac{{\sqrt {(ab + bc + ca)(a + b + c)} }}{{\sqrt {(a + b)(b + c)(a + c)} }} = \sqrt 6 .\sqrt {1 + \frac{{abc}}{{(a + b)(b + c)(a + c)}}}  \le \sqrt 6 .\sqrt {1 + \frac{1}{8}}  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \\ \\ \end{array} \\ \]

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 16-12-11 à 21:48

oui;j'ai une relation entre les nombres x;y:z
x+y+z=xyz

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 17-12-11 à 11:41

enfin
je voudrais faire la comparaison
$\frac{{xz}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge x + y + z$
x;y;z>0

Posté par
lolo271re : est- ce que vrai ou faux 17-12-11 à 14:28

Bonjour

Un misprint au début  c'est   xy/z + zx/y + yz/x  = A .

On peut supposer par symétrie  x =< y =< z  alors     xy =< zx =< yz .  Mézalors  dans A tu as fait le produit des termes les plus petits par les termes les plus gros .

Donc A >=   xy / y + zx / x + yz / z = x+y+z .

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 18-12-11 à 22:15

\[ \\ \begin{array}{l} \\ \frac{{x(y - z)^2 }}{{yz}} + \frac{{y(x - z)^2 }}{{xz}} + \frac{{z(x - y)^2 }}{{xy}} \ge 0 \\ \\   \Leftrightarrow \frac{{xy}}{z} + \frac{{xz}}{y} + \frac{{yz}}{x} \ge x + y + z \\ \\ \end{array} \\ \]

Posté par
sabagare : est- ce que vrai ou faux 18-12-11 à 22:33

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{x{{\left( {y - z} \right)}^2}}}{{yz}} + \frac{{y{{\left( {x - z} \right)}^2}}}{{xz}} + \frac{{z{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{xy}} \ge 0\\ \\ \frac{{x\left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right)}}{{yz}} + \frac{{y\left( {{x^2} - 2xz + {z^2}} \right)}}{{xz}} + \frac{{z\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{xy}} \ge 0\\ \\ \Rightarrow \frac{{x\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{yz}} - 2x + \frac{{z\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{xy}} - 2z + \frac{{y\left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{xz}} - 2y \ge 0\\ \\ \Rightarrow \frac{{x\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{yz}} + \frac{{y\left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{xz}} + \frac{{z\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{xy}} \ge 2\left( {x + y + z} \right)\\ \\ \Rightarrow \frac{{{x^2}\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{xyz}} + \frac{{{y^2}\left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{xyz}} + \frac{{{z^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{xyz}} \ge 2\left( {x + y + z} \right)\\ \\ \Rightarrow \frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{xz}}{y} = \frac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {x^2}{z^2}}}{{xyz}} \ge x + y + z\\ \\ \\ \end{array}\]

Posté par
lolo271re : est- ce que vrai ou faux 18-12-11 à 23:24

ben c plus long  


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