bonsoir

J'en pense que le raisonnement est faux...

Quel théorème te permets de conclure cela ?

Salut ,

J'espère ne pas trop m'avancer mais je peux te dire que ton raisonnement est faux... j'ai déjà fais cette exercice et il y avais une limite réel si je m'en souviens bien..

Pour étudier la limite j'ai du passer par le .. si ça peut t'aider..

en  fait aucun théorème c'est juste que quand on multiplie des nombres supérieurs à 1 une infinité de fois je pense que le résultat tend vers l'infini non ?

j'ai peut etre mal interpréter cette notation...

salut olive , pour n = 1 ya pas de limite là je crois ou alors je ne sais pas lire la notation lol

réflexion faite si les termes sont décroissants oui il doit yavoir une limite , je vais y réfléchir

dans le même genre d'idée, tu obtiendrais aussi l'infini en sommant une infinité de termes positifs...

et pourtant, si tu sommes 1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 etc... jusque l'infini... tu obtiens 2

et donc si tu fais le produit de toutes les exponentielles des fractions 1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 ... qui sont tous des nombres supérieurs à 1 (je parle des exponentielles)... tu obtiens pour limite exp(2)

ce qui prouve l'invalidité de ton raisonnement...

maintenant, pour répondre à ton problème, tu peux prendre le "ln" de ton produit

sauf erreur de calcul de ma part, ton produit devrait tendre vers e

(la somme des "ln" peut s'encadrer par des intégrales avec la méthode des rectangles puis le passage à la limite se calcule avec un petit développement limité)

oui matou je me suis rendu compte de mon erreur , je vais y réfléchir cette nuit et posterai demain , je te remercie

Bah je suis allez regarder dans mon livre de terminal..

Si ça peut t'aider on demandait en première question de démontrer que pour tout :

  

Puis en 2eme question de montrer par récurrence que

Et pour finir, en utilisant les résultats des questions précédentes, determiner les limite de la suite :

  



Je ne sais pas si c'est vraiment de cette manière que on te demande de trouver la limite car il faut y penser à l'encadrement de la question 1...
Mais si ça t'interresse j'ai la solution dans mon cahier je crois ^^

(Et je crois avoir trouvé 1 pour limite mais ce n'est pas sur du tout çà ^^)

_{Comme limite c'est possible ça me dit quelque chose .. comme dit je me souviens plus par coeur de la limite que j'avais trouvé ^^}

vous me donnez des réponses différentes et moi je ne sais plus comment étudier la limite de cette suite...

Olive ta méthode me tente bien mais meme si je sais répondre à tes 2 questions je vois pas le rapport avec la suite Un...

he bien considère la suite v(n) = ln(u(n))

cela donne quoi ?

v(n) = ln(1+k/n²)    k variant de 1 à n

avec la double inégalité qui peut se montrer en étudiant tout simplement les 2 fonctions différences des membres) rappelée par Olive, tu encadres cette somme en encadrant chaque terme.

Puis tu calcul les sommes encadrantes... et tu vois qu'elles ont même limite (à savoir 1/2)

le théorème des gendarmes fait le reste et prouve que mon résultat annoncé plus haut était bon.

MM

slt matou , euh c'est pas une somme mais un produit , tu as fait une erreur de frappe dans le dernier message ?

pas vraiment non !

revois les propriétés du logarithme...

franchement matou je ne comprends pas , avec quoi veux tu que j'encadre ln(1+k/n²) , avec x et x-x²/2 ?

x tend vers l'infini et la seconde tend vers -infini .

k/n² tend vers 0 ...

je ne vois pas le rapport

bon, reprenons calmement !

écrit déjà v(n) = ln(u(n)) = ln((1+k/n²))

et ln(AB)= ????

ln A*B = ln A+B ça j'ai bien compris ta notation somme ça va

non, pas vraiment... et met des parenthèses pour savoir à quoi s'applique le "ln"

ln(A+B) ln(A) + B

je sais je sais c'est juste que j'ai pas mis les parenthèses...

donc reprenons : ln(AB) = ...

voir le lien un cours sur la fonction logarithme népérien pour les propriétés du "ln"

ln (ab) = ln(a) + ln(b) , c'etait une erreur d'écriture je connais les ln , désolé

même avec des parenthèses supplémentaires, ton résultat de 16:40 est faux...

jez sais c'etait juste une erreur d'écriture je connais les ln

là je suis d'accord

donc v(n) = ln(1+k/n²)

oui ?

oui pas de probleme

donc on a bien transformé le produit en somme...

maintenant, es-tu d'accord avec la double inégalité mentionnée par Olive (l'as-tu démontrée ?) ?

oui je l'ai démontré là également aucun probleme

bien donc cela permet d'encadrer ln(1+k/n²)...

va-s-y, applique la à x=k/n²

MM

bordel !!! c'est ce que je voulais faire , remplacer x par k/n² sauf que moi j'avais pas penser à remplacer les autres x de l'inégalité , bon tant pis , alors ça nous fait :

k - k²/2n < ln(1+k/n²) < k/n²

mais bon pour calculer les limites de k/n² bon courage ya tellement de possibilités suivant n... et comme k augmente sans arrêt...

non, ton inégalité est fausse...

remplace x par k/n²

MM

k/n² - k²/2n^4 < ln(1+k/n²) < k/n²

k/n²-k²/(2 n⁴) ln(1+k/n²) k/n²

j'ai corrigé plsu ahut

voilà

Bon maintenant, posons A(n) = k/n²   et B(n) = k²/(2 n⁴)

k variant bien sûr de 1 à n

en sommant toutes les inégalités précédentes, tu es d'accord que v(n) est compris entre A(n)-B(n) et A(n)

oui

bon, alors maintenant on va calculer A(n) et B(n)...

tu es d'accord que dans la somme A(n), c'est k qui varie, et que donc le 1/n² est constant vis à vis de k (on bloque n pour l'instant et on le fera tendre vers l'infini à la fin)

donc A(n) = (k) / n²

oui jusque là c'est clair mais dis donc il est bien compliqué cet exercice et très long

tu es en IUT...! (quand je le posais en Terminale, je le détaillais, mais en post bac il faut apprendre à se débrouiller un peu tout seul)

on continue ou pas ?

et que vaut la somme des entiers k pour k variant de 1 à n ?

je dirais sans conviction k(k+1)/2

la somme dépend de n, pas de k qui est l'indice variant ...

(ce résultat a été vu en première, lors de l'étude des suites arithmétiques et de leur somme)

et donc tu obtiens finalement A(n)= ...

n(n+1)/2

oui pour la suite des entiers de 1 à n

et donc A(n) = ...

A(n) = 1/2 + 1/2n

très bien...

le temps qu'on y est, quand n tend vers l'infini, A(n) tend vers A= ... ?

1/2 naturellement