Salut!!

il se trouve ke je bloque sur ce DL et le blem est que je dois le rendre demain donc...


soit (G,.) un groupe fini de cardinal n*. on note Z(G) le centre de G.
et soit H un sous groupe de (G,.)tq card(H) divise card(G).
1)Montrer que si n est premier alors G est cyclique.
2)soit aG.on considère l'application f_a: GG;xaxa^-1.
   vérifier que f_a est un isomorphisme de G.
3)pour x,yG.on définit la relation: xy aG tq: y= f_a(x).
  a)montrer que est une relation d'équivalence.
on pose pour uG , S(u)={a G/ au=ua}
  b)montrer que S(u) est un sous groupe de G.
  c)Soit v cl(u). montrer que l'ensemble des a G tel que : v= f_a(x), est équipotent à S(u).
  d)En déduire que card(G)=card(cl(x)) card(S(u)).
  e)Montrer que : u G, cl(u)={u} uZ(u) S(u)=G.
  f)On note cl(u₁),...,cl(u_r).les classes d'équivalences qui ne sont pas des singletons.Montrer que:  card(G)=card(Z(G)) + _k=1^r((cardG)/(cardS(u_k))).
4)On suppose ici que n est le carrée d'un nombre premier.
  a)Montrer que card(Z(G))0[p].
  b)Soit x G\Z(G).montrer que cardS(x) card(Z(G))+1.
  c)En déduire que Z(G)= G et que G est commutatif.

Bon courage et Merci!!