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Euclidianité de R^n muni de la norme p.

Posté par
1 Schumi 1 08-11-08 à 17:31

Bonjour à tous

L'une des dernières questions de mon DM... Bien bien unitile c'te question. N'empêche que j'y arrive alors que ça doit être d'une évidence monumentale...


On a montré que pour \rm p\in\infty[1,+\infty], \rm(R^n, ||.||_p) est un evn. \rm||.||_p est définie par \rm||x||_p=(\Bigsum_{k=1}^{n}|x_k|^p)^{1/p} comme on pouvait s'en douter. On l'appelle \rm l_n^p.

Question: Pour quelles valeurs de n et de p c'te espace est euclidien?


Il me semble que ce n'est le cas que pour p=2 et n quelconque mais je démarre pas.

Un nain dix? (Surtout pas la solûce siouplé).

5 you.

Ayoub.

Posté par
romure : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 17:58

Salut,

tu peux te restreindre au cas n=2. Si p\in ]1,+\infty[ (les cas p=1 ou p=\infty sont plus simples), tu peux regarder la boule unité de (\mathbb{R},||.||_p), et étudier les axes de symétrie de la sphère unité.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 18:06

Salut !

Beaucoup plus simple : une norme est euclidienne ssi elle vérifie l'identité du parallélogramme ...

Bon dans le programme on a l'implication qu'il faut : si une norme est euclidienne alors elle vérifie l'identité du parallélogramme ...

Là c'est clair que pour p différent de 2 la norme de Holder n'est pas euclidienne .. Pourquoi?

On a : 3$ ||e_1+e_2||_p^2+||e_1+e_2||_p^2=2\times 2^p et 3$ 2\(||e_1||_p^2+||e_1||_p^2\)=4

L'égalité n'est vérifiée que pour p=2 !

Réciproquement la norme 2 est bien euclidienne

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 18:08

Une faute de frappe:

3$%20||e_1+e_2||_p^2+||e_1+e_2||_p^2=2\times%202^{\frac{2}{p}}

Bien entendu, n est quelconque

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 18:10

Oulà je dois commencer à utiliser le bouton aperçu

3$%20||e_1+e_2||_p^2+||e_1-e_2||_p^2=2\times%202^{\frac{2}{p}}

Posté par
Arkhnorre : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 18:14

Bonsoir.

Je poste juste pour préciser que le cas n=1 est un cas particulier.

Posté par
romure : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 18:15

Salut monrow,

oui effectivement c'est beaucoup plus simple.

Posté par
1 Schumi 1re : Euclidianité de R^n muni de la norme p. 08-11-08 à 18:36

Merci à tous

Effectivement, c'était triviale...


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