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euclidiens et endomorphismes positifs

Posté par
electre 10-03-09 à 20:38

Bonsoir à tous!
Le dernier exercice de la planche sur les euclidiens me pose beaucoup de problèmes. on nous dit:
on considère la matrice de terme général 1/(ai+aj), tous les a sont strictement positifs . Montrer, en utilisant la fonction x-> exp(-akx), que cette matrice est positive.

Voila...
Il me semble que la seule caractérisation des matrices positives qu'on a c'est montrer que pour tout vecteur colonne X, transposée(X)MX est supérieur ou égale à 0. Mais ça ne me donne rien... De plus je ne comprends pas ou peut apparaitre l'exponentielle.

je remercie d'avance ceux qui se pencheront sur cet exercice^^

Posté par
electrere : euclidiens et endomorphismes positifs 10-03-09 à 21:29

J'ai continué à chercher mais je ne trouve pas... de l'aide?s'il vous plait

Posté par
electrere : euclidiens et endomorphismes positifs 10-03-09 à 22:39

Bah.... Personne n'y arrive?

Posté par
perroquetre : euclidiens et endomorphismes positifs 10-03-09 à 23:15

Bonjour, electre

3$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{x_ix_j}{a_i+a_j} =\int_0^{+\infty}\left(\sum_{i=1}x_ie^{-a_it}\right)\left(\sum_{j=1}^nyy_je^{-a_jt}\right)\, dt

Posté par
perroquetre : euclidiens et endomorphismes positifs 10-03-09 à 23:19

Erreur de ma part (j'ai posté au lieu de cliquer sur le bouton aperçu   )
Voici donc ce que je voulais écrire:

3$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{x_ix_j}{a_i+a_j} =\int_0^{+\infty}\left(\sum_{i=1}^nx_ie^{-a_it}\right)\left(\sum_{j=1}^nx_je^{-a_jt}\right)\, dt

Posté par
electrere : euclidiens et endomorphismes positifs 10-03-09 à 23:28

Bonsoir perroquet! Merci mille fois d'avoir répondu mais vous allez trop vite pour moi:
- qui sont y et les y_j?
- comment sépare-t-on les deux sommes?
- comment passe-t-ton à l'intégrale? (est ce que c'est du au théorème de dérivation terme à terme?)

Posté par
electrere : euclidiens et endomorphismes positifs 10-03-09 à 23:29

Veuillez m'excuser, je viens de voir votre nouveau poste...s'il vous plait, pourriez vous d'étailler le passage à l'intégrale?

Posté par
perroquetre : euclidiens et endomorphismes positifs 11-03-09 à 00:02

Comme on a une somme finie, on peut intervertir les signes "somme" et "intégrale". Donc:

3$\int_0^{+\infty}\left(\sum_{i=1}^nx_ie^{-a_it}\right)\left(\sum_{j=1}^nx_je^{-a_jt}\right)\, dt=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_ix_j\left(\int_0^{+\infty} e^{-(a_i+a_j)t}dt\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{x_ix_j}{a_i+a_j}

Posté par
electrere : euclidiens et endomorphismes positifs 11-03-09 à 00:12

Merci beaucoup perroquet..^^
J'avais bien compris votre raisonnement mais je voulais savoir quelle justification exacte donner à l'intervertion (intervertir des sommes me fait particulièrement peur depuis que cela m'a valu de passer une colle mémorable  ...argggg)
Encore merci


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