Pour la première question je ne vois pas de réponse évidente, j'y réfléchis.

Pour la seconde par contre c'est facile, pour n=2 il suffit de penser aux complexes et à la multiplication par i. La matrice correspondante est :


Pour une dimension paire quelconque, tu prends une matrice diagonale par blocs 2*2 égaux à la matrice ci-dessus.

(Pour la deuxième question tu peux même préciser le cas de la dimension impaire)

que veux tu dire quand tu dis une matrice diagonale par blocs "2*2" égaux ... ?

on vient juste de voir ce que c'était qu'une matrice diagonale par blocs...

Je veux juste dire, une matrice avec des zéros partout, sauf sur les termes autour de la diagonale qui sont de la forme ci-dessus. Enfin comme ça quoi :

personne saurait comment je pourrais faire pour la première ?

Bonjour, cchamw

D'abord, il faudrait préciser que E est un R-espace vectoriel (dans le cas d'un C-espace vectoriel, le résultat est faux).

Ensuite, si on ne veut pas utiliser les idées de la deuxième question (c'est pourtant ce que je ferais, spontanément):

On peut remarquer que les matrices A et B de f et g dans une base de E vérifient:  A²=B²=-I
Elles annulent donc le polynôme X²+1, scindé sur C, à racines simples dans C. Elles sont donc diagonalisables dans M_n(C), de spectre inclus dans {i,-i}. Comme ces matrices sont à coefficients réels, le spectre est égal à {i,-i} et les valeurs propres ont même ordre de multiplicité.
Donc, A et B sont semblables dans M_n(C) car elles sont semblables à une même matrice diagonale.
Or deux matrices à coeffients réels qui sont semblables dans M_n(C) sont semblables dans M_n(R) (exercice classique).

C'est une solution compliquée, mais  il n'existe pas de solution facile à cet exercice.

oui en effet je ne comprends pas trés bien... et si on devait utiliser le fait que dimE soit pair il y aurait une solution plus simple ?

Non, celle à laquelle je pense n'est pas plus simple.

ok, merci

une dernière question :s, qu'est ce que ça veut dire "de spectre inclus dans {-i,i}" ?

Le spectre d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est l'ensemble de ses valeurs propres.