Quel pourrait être le problème de définition de g?

De quoi peut-il venir?

Ben du inf je suppose.

prenons alors un x.

Le but est de montrer que l'inf va exister.
Quel théorème peux tu utiliser?

Je ne sais pas. Le théorème de weierstass, mais A n'est pas forcément bornée. Donc je vois pas du tout

et si A était minorée, le théorème de la borne inf tout simplement peut-être...

Trouve un minorant maintenant.

Un minorant pour A ou pour l'application f ?

démontre que f(x) minore A.

Je suis désolé, mais je ne comprend pas bien. Merci de ton aide en tout cas.

Celà pour un x fixé ou quelque soit x dans A ?

x est fixé.
On veut montrer que ton ensemble B est minoré (je me suis trompé dans les notations, ce n'est pas A qui est minorée mais ton ensemble de f(y)+k (x-y) que je vais appeler B).

D'accord, je comprend mieux a présent.

on a ||f(x)-f(y)|| + f(y) f(y) + k||x-y||   non ?

moui, mais ton minorant dépend de y. Essaye d'améliorer ca pour enlever y.

En effet.

Il suffit de voir que ||f(x)|| - ||f(y)|| ||f(x)-f(y)||.


cependant, on ne sait pas si f(y) est 0 ou non.

Si oui, le résultat est immédiat, sinon je ne vois pas comment faire

ce sont des valeurs absolues donc tu peux même encore restreindre tes hypothèses :
lf(x)-f(y)l >= f(x)-f(y) avec les l tes barres de valeurs absolues.

oui d'accord,

f(x) - f(y) =< |f(x) - f(y)|


On a alors f(x) =< |f(x) - f(y)| + f(y) =< k|x-y| + f(y)

Et tu peux donc conclure!

d'accord, merci bien, c'est vraiment gentil de ta part. =)

Je peux donc passer a la borne inférieur et en déduire le résultat


comment ensuite montrer que g réalise un prolongement de f sur E ?

Un prolongement pour commencer, c'est quoi, c'est a dire qu'il y a continuité entre f et g ?

prolongement : g=f sur A.
Tu prends donc un x dans A et tu essayes de montrer que g(x)=f(x).

ne faudrait il pas utiliser le fait que inf(u-v) =< inf u - inf v pour des fonctions u et v

Non il s'agit d'un simple passage a l'inf.
g(x)>= f(x) car f(x) minore l'ensemble B.

De l'autre côté :
pour tout y , f(y)+k lx-yl >= f(x)
passage a l'inf : g(x)>=f(x)

c'est vrai je n'ai même plus pensé au fait que f(x) =< g(x) ce qu'on vient de montrer tout à l'heure.

Je suis un peu bête.

c'est alor pour montrer que g est un prologement de f qui est k-lipschitzienne sur E il faut utiliser le fait que inf(u-v) =< inf u - inf v

j'ai un petit problème.

Après réflexion... g doit être définie sur E seulement f est lipschitzienne seulement sur A, donc ce qui est écrit est valable seulement sur A, quel argument me permet d'étendre ce résultat a E

Merci beaucoup