Bonjour.

Vérifie d'abord que u(P) est bien de degré inférieur ou égal à 2.

Pour la linéarité, calcule u(a.P + b.Q). Tu dois trouver a.u(P) + b.u(Q)

Etudie enfin Ker(u).

j'ai montré que u(P) est de degré inférieur ou égal à 2 (pas trop compliqué)

Je comprend que l'on veut obtenir a.U(P)+ b.u(Q) pour prouver la linéarité, mais je sèche sur le raisonnement, peux-tu m'aider un peu sur ce point?

enfin j'ai étudier ker(u) :
soit PKer(u) u(P) = P(O)X² + P'(1)X + P"(2) = 0
or un polynome nul a tous ses coefficients nuls, donc c'est équivalent à :
P(0)=0
P'(1)=0   P=0
P"(2)=0

cependant, je ne suis pas bien sur d'avoir démontrer la dernière équivalence...
en supposant que celle-ci soit vraie, j'en déduit que Ker(u)={0} et d'apres un théorème du cours, on en déduit que u est injective.

je veux ensuite utiliser un autre théorème qui dit que si u L(E,F) (E et F deux E.V de même dimension) alors u injective u bijective.
cependant est-ce que R2[X] est un E.V de dimension finie? si oui comment le démontrer ?

Bonsoir

Bonsoir

merci à vous deux pour vos réponses!

pouvez vous maintenant me donner une piste pour prouver la linéarité de l'application ?

Ben tu fais ce qu'a dit Raymond...

pour la linéarité calcule :

u(P+Q) (=u(P) + u(Q))
u(P) (=*u(P))

ah oui, ça démontre l'injection. Mais pour la surjection, il faut alors étudier Im(u) non ?

Bonsoir et joyeux Noël!

Pour la surjection, il suffit de dire qu'en dimension finie, toute application de E dans E surjective est injective et réciproquement (grâce au théorème du rang). Et comme tu as montré que c'est injectif, c'est aussi surjectif, donc bijectif.