Bonjour,
bien sur comme on sait très bien ce que sont u et v c'est très facile de répondre ...

Bonjour

Pour t'aider il faudrait savoir qui sont u et v?

Ah oui, c'est vrai que c'est important
u(2,-1,0) et v(0,1,2)

Pour montrer le caractère libre, j'ai fait :
2₁ = 0
-₁ +  ₂= 0
2₂ = 0

C'est automatique

Oui, maintenant tu prouves que (u,v) est un famille génératrice de F.

Ca n'est pas direct ? Je pensais que c'était direct ?

Je veux dire, si on montre que c'est libre alors c'est une base, donc générateur ?

Pour montrer que la famille est génératrice, on montre que tout vecteur v(x, y, z) peut s'écrire comme combinaison linéaire de u et de v :

2₁ = x
-₁+₂=y
2₂=z

On obtient ₁= x/2
           ₂= z/2

Et pour la deuxième :
-x/2 + z/2 = y

Mais justement la dernière condition est vérifiée pour les éléments de F. En fait, la première chose à faire était de vérifier que u et v sont bien dans F.

Si j'avais montré que u et v appartenait à F, et si j'avais montré ensuite que la famille {u,v} était libre, j'aurais pu conclure directement qu'elle est aussi génératrice ?
Et par contre pour la dimension je ne sais pas trop comment faire...

Non, ce que tu viens de faire, libre + génératrice, montre que (u,v) est une base de F, donc F est de dimension 2. Mais tu dois faire les deux démonstrations.

Si tu es dans un sous-espace dont tu cannais déjà par ailleurs la dimension d et si tu as d vecteurs, il suffit de vérifier une seule des conditions pour affirmer que c'est une base.

La base donne une information sur la dimension ? Elle est égale à son nombre d'éléments ou elle lui est inférieure  ou égale ?

Aie!! D'après toi c'est quoi la dimension? C'est le nombre de vecteurs que contient une base (on démontre longuement que toutes les bases ont le même nombre de vecteurs). Enfin... en dimension finie!

non parce qu'en fait j'ai un vague souvenir qu'on encadrait la dimension en disant qu'elle était inférieure ou égale à 3 pour R³ et qu'on trouvait ensuite qu'elle était supérieure ou égale à un chiffre inférieur à 3. Je crois que ça m'a embrouillé plus qu'autre chose

Dans un espace de dimension d, une famille génératrice a au moins d éléments, une famille libre au plus d éléments et une base exactement d éléments (forcément, puisqu'elle est libre et génératrice).

Merci Beaucoup, je m'en souviendrais !

David