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Exercice Base Dimension Somme directe
Bonjour,
Voici l'exercice:
E_1 = {(x,y,z)
R3 | 3x-2y+3z = 0}
E_2 = {(x,y,z) R3 | x + 3y -z = 0 et 3x + 3y + z = 0}
Je dois déterminer les Bases de et de
puis en déduire que la somme est directe et vaut R3
J'ai déterminé les bases mais je ne vois pas encore comment déduire...
Donc dim E1 = dim E2 = 2
Merci d'avance
Dcamd
Bonjour
déjà, tu ne dois certainement pas déterminer LES bases de tes sous espaces, mais plutôt DES bases !
ensuite, si la somme doit être directe, tu ne dois pas trouver plus de trois vecteurs en tout pour ces deux bases ....
pour B1, elle a l'air convenable
pour B2, tes deux vecteurs ne vérifient que la première équation de E2, pas la deuxième ....
le premier vecteur ne vérifie plus la première équation ... et je n'ai pas vérifié le deuxième
commence par utiliser tes deux équations pour exprimer deux des variables x, y et z en fonction de la troisième ...
Mais comment faire ensuite, quand on a deux expressions pour z ?
x + 3 y = -3 x + 3y
x = -3x
x = 0 ?
x + 3y -z = 0 et 3x + 3y + z = 0
par soustraction : 2x + 2z = 0 donc x = -z
ensuite 3y = 2z (en remplaçant dans n'importe laquelle des deux)
on a donc x = -z = -3(z/3), y = 2(z/3) et z = 3(z/3)
donc (x,y,z) dans E2 <==> (x,y,z) = (z/3)(-3,2,3)
E2 admet (-3,2,3) pour base
il te reste à vérifier que la réunion de ta base de E1 et de cette base de E2 donne bien une base de R^3
La réunion est telle que l'espace engendré est Vect{(1, 3/2, 0) (0,3/2, 1) (-3, 2, 3)}
Après calculs la famille est libre. Comme ce sont 3 vecteurs de R3, c'est une base de R3.
C'est bien comme cela ?
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