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exercice d'algèbre linéaire
bonjour à tous. j essai de faire une petit exo qui me pose problème.
f et g sont deux endomorphismes d'un R-ev E et fog = Id
a) montrer que ker(gof)=ker(f)
il semblerait que kerf
ker(gof). Pourriez vous m expliquer pourquoi?
ensuite pour montrer ker(gof)kerf je prends un x 
ker(gof)
d'où gof(x)=0
puis g(y)=0/y=f(x)
puis j utilise l'hypothèse:fog =Id impliquant fog(y)=y
ici je suis bloqué
b) montrer que Kerf
Img=0
je prends un xKerfImg
f(x)=0 et 
yE/x=g(y)
j utilise l'hypothèse:fog =Id impliquantf(x)=fog(y)=0=y
ici je suis à nouveau bloqué, je n arrive pas a montrer que x=0
voilà j aurai donc besoin d un petit coup de main sur cet exercice apparament simple
Bonjour,
a)
Soit x dans Ker(gof)
Alors gof(x)=0
On applique f : fogof(x)=0
Or fog = Id donc fogof(x)=f(x) et f(x)=0
donc x est dans Ker(f)
Donc Ker(gof) est inclus dans Ker(f)
Réciproquement,
Soit x dans Ker(f)
Alors f(x) = 0
On applique g : gof(x) = 0
donc x est dans Ker(gof)
Donc Ker(f) est inclus dans Ker(gof)
Donc Ker(f) = Ker(gof).
merci pour cette réponse rapide? en effet, en ce qui concerne b) ce devrait être Kerf=Img={0}
je rajoute une petite question.f et g sont deux endomorphismes, a t on forcement f(0)=0 et g(0)=0?
b)
Soit x dans Ker(f) et Im(g)
Alors f(x) = 0 et il existe un y tel que x = g(y)
fog(y) = 0
y = 0
donc x = g(y) = 0
Donc Ker(f) inter Im(g) est inclus dans {0}
L'inclusion réciproque est facile à montrer.
D'où le résultat.
Sauf erreur.
merci. c beaucoup plus clair maintenant. je rajoute juste une petite question. si f est un endomorphisme d un R-ev, est il évident que Im(f2)Imf et pourquoi?
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