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Exercice d'algèbre linéaire, espaces supplémentaires
Bonjour! Est ce que quelqu'un veut bien m'aider a résoudre cet exercice?
E est l'espace vectoriel R3 rapporté à une base (e1,e2,e3), et f est l'endormorphisme représenté dans cette base par la matrice:
(4,-1,5)
(-2,-1,-1)
(-4,1,-5)
La question, c'est, après avoir déterminé des bases de Ker(f) et Im(f) (ça je l'ai déja fait, pour ker(f), la base ne contient qu'un vecteur, pour Im(f), deux), il faut prouver que E=Ker(f)
Im(f). Donc, j'ai déja dimE= dim Ker(f)+ dim Im(f).
Je dois prouver que Ker(f)
Im(f)= O...
le probleme, c'est justement de montrer que cette intersection est égale à 0... En n'ayant que les bases et la matrice. Je suppose qu'il faut prendre un vecteur appartenant à cette intersection. Je peux l'exprimer grâce à la base de Ker(f)... Mais je ne sais pas trop comment l'exprimer avec la base de Im(f), qui contient deux vecteurs. ^^; en fait, Im(f) est de la forme vect ((a,b,c),(d,e,f)). Donc x= u(a,b,c)+v(d,e,f)= (ua+vd,ub+ve,uc+vf)? et je dois montrer que ces trois éléments sont nuls?
^^; désolée, ça parait peut etre un peu bête comme question mais j'ai regardé mon cours et demandé a des amis de ma classe (bcpst deuxième année), personne n'a su répondre...
Merci pour m'avoir lu, et pour vos réponses!
Euh... Bon, en fait, je viens de me rendre compte que c'était pas si évident que ça, pour moi du moins...(désolée)
Parce que le théorème du rang dit que dim E= dim Im(f) + dim Ker(f).
Il y a un autre théorème disant que dim (F1+F2) = dim F1 + dim F2 -dim (F1F2)
Donc ça veut dire que E= Im(f) +Ker(f)? Je comprends pas trés bien pourquoi... ^^; Tu veux bien m'expliquer?
Ah mince j'ai mal lu ton énoncé ^^
Tu as déjà montré que
D'autre part, Ker(f) et Im(f) sont des sous-espaces vectoriels de E, et Ker(f)+Im(f) est inclus dans E, en tant que somme de sous-espace vectoriel de E.
Donc on a :
Si on arrive à montrer c'est gagné, puisqu'on aura
Pour montrer que , tu prends
dans IR3 et tu l'écris comme combinaison linéaire des vecteurs des bases de Ker(f) et Im(f).
Remarque : si tu montres que cette écriture est unique, même pas besoin de passer à la dimension.
Ou plus simplement : si j'appelle x1 x2 et x3 les vecteurs de tes bases de Ker(f) et Im(f), calcule det(x1,x2,x3).
Si ce déterminant est non nul, alors (x1,x2,x3) forme une base de E, donc tout vecteur de E se décompose de manière unique sur cette base, donc E est inclus dans Ker(f)+Im(f).
Avec l'autre inclusion, et le fait que la décomposition est unique, on a bien
^^ Merci beaucoup pour ton aide. Je viens d'essayer la première méthode, aucun probleme! (par contre je connaissais pas cette technique avec le déterminant... j'aurais appris des trucs! =P )
Merci encore, et bonne journée!
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