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Exercice d'ensembles

Posté par
drunkness 07-09-11 à 17:39

Bonjour a tous.

J'ai un problème concernant une question sur un exercice d'ensemble :

"Démontrer que pour toute partie A,B,C d'un ensemble E :

A \backslash B = \overline{B} \backslash \overline{A}"

Mais je ne vois pas par où commencer et sur quoi m'appuyer ! (j'espère que c'est pas un truc tout bête, j'aurai l'air fin tiens !)

Pouvez vous m'aiguiller juste sur un début de raisonnement ? J'aimerai trouver le résultat par moi même, sans regarder une réponse parachutée ...
Merci beaucoup

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 17:44

Salut,

En fait, il suffit de prendre un élément de A\backslash B et de comprendre ce que ça veut dire.

Les exos sur les ensemble de ce type, sont souvent bêtes en fait...

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 17:57

Bonjour et merci de la réponse rapide.

Citation :
"Un élément de A \antislash B"


Donc soit A = \{ \varnothing , a \} ;
On prend donc a élément de A;

Citation :
et de comprendre ce que ça veut dire.


mmmh ... C'est vaste.
J'ai représente "graphiquement" 3 ensembles A, B, C sur un patatoïde, ça correspond bien, mais je ne vois pas de preuves vraiment "terre-à-terre" comme une récurrence ou une double inclusion qui puisse le démontrer ...

Si a est élément de A, qu'en déduire ? Par rapport aux autres ensembles, tout est possible : il peut ou non appartenir a B, C ...
Si il appartient à A, il n'appartient pas à \overline{A}?

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 17:59

Euh désolé du double post mais c'est plutot que A = \{a\} ça suffisait pas besoin de \varnothing  ><

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:05

Alors. Tout d'abord, je comprend pas très bien ça :

Citation :
Donc soit A=\{\emptyset, a\}


Je vois pas très bien ce que tu veux dire par là. Ce que je voulais dire en fait, c'est plutôt dans la direction de ta dernière phrase : si tu prend a\in A\backslash B. Ça veut dire qu'il vit où (ou ne vit pas) ?

Et en effet, le point clef c'est la définition de ce qu'est \overline{A} c'est-à-dire \overline{A}=\{x\in E,x\not\in A\}.

Ça aide un peu ou je t'embrouille plus qu'autres choses ?

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:07

Ah. Je corrige mon post alors.

Dans ce cas, je vois pas très bine pourquoi est ce que A serait un singleton. Il y a pas de raison. Sauf si c'est mentionné dans l'énoncé. Mais sinon, A fais ce qu'il veut. Il faut juste regarder un élément qui est dedans.

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:18

Pardon du Multi-post, mais :
Je suis allé trop vite, c'était un élément de A\B ...

Donc un élément de A\B .

S'il est élément de A\B, il est élément de \overline{B} , sauf qu'il faut restreindre car il existe C et que C \backslash B \cup A \subset \overline{B}

Donc on met \overline{B} \backslash \overline{A}

Mais là :
1. J'ai l'impression de m'enfoncer
2. Je ne suis pas sur que ça suffise pour démontrer \overline{B} \backslash \overline{A} ...

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:26

Aha ! Il y a donc un nouvel ensemble C. Tu l'as présenté dans l'énoncé mais comme il n'apparaissait, j'ai supposé qu'il intervenait seulement dans des questions ultérieures.

Néanmoins, je ne si la question est bien de démontré uniquement que A\backslash B = \overline{B}\backslash\overline{A}, tu ne dois pas avoir besoin de l'ensemble C.

Tu as en plus très bien commencé :

Citation :
S'il est élément de A\B, il est élément de \overline{B}
C'est le bon départ. Mais tu oubli le fait qu'il est dans A.

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:47

Citation :
C'est le bon départ. Mais tu oubli le fait qu'il est dans A.


D'accord.
Je pense avoir compris comment démontrer :

On veut démontrer P: "A  \antislash B = \overline{B} \backslash \overline{A}"
Soit x, un élément de A\B

Si x est élément de A\B, il est élément de \overline{B}
Or il est aussi élément de A. Donc si je veux faire une égalité avec \overline{B} il va falloir que je soustraie \overline{A} car x \notin \overline{A}
Donc A  \backslash B = \overline{B} \backslash \overline{A}

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:51

C'est ça. Enfin en gros. La façon dont tu rédiges ça me chagrine un peu, mais sinon tout est là.

Tu veux de l'aide pour le dire correctement ?

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 18:56

Et oui c'est là le problème, c'était pour l'idée. Ça fait vraiment oral !

Oui j'aimerai de l'aide pour la rédaction si ça te gêne pas !
C'est surtout pour cette phrase en fait:

Citation :
"Donc si je veux faire une égalité avec \overline{B} il va falloir que je soustraie \overline{A} car x \notin \backslash{A}"

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:03

En fait, le fait que x\in A\backslash B nous donne deux informations sur x. Tout d'abord x\not\in B que tu arrives bien à traiter et ensuite x\in A qu'il ne faut pas oublier de traiter exactement de la même manière.

Je viens de me rendre compte mais une fois ça bien écrit, on a pas axactement démontré ce qu'il faut. Seulement la moitié. Eh oui. Car ce que tu veux, c'est une égalité entre ensembles, et ça se démontre par une double inclusion. C'est à dire qu'on est en train de prouver que A\backslash B\subset \overline{B}\backslash\overline{A} et il ne faut pas oublier de faire le sens inverse \overline{B}\backslash \overline{A}\subset A\backslash B pour finir correctement.

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:16

qu'il ne faut pas oublier de traiter exactement de la même manière."[/tex]

Du genre :

Si x est élément de A\B :

1. x \in A
Donc x \notin \overline{A}

2. x \notin B
Donc x \in \overline{B}

Ainsi :  
A \backslash B \subset \overline{B} \backslash \overline{A}

Ça parait super simple avec du recul!
Il reste donc à démontrer l'autre inclusion et c'est bon ?

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:18

Oups problème de LaTeX, je citais en fait ta phrase de "Tout d'abord [...] manière"

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:29

Voila c'est ça.

Je voudrais juste faire un petite précision. C'est du chipotage mais qui est quand même important de savoir pour éviter de se faire avoir et pour bien comprendre ce qui se passe.

En fait, A\backslash B n'a pas de sens si B n'est pas inclus dans A. Ce qu'il faut comprendre par là c'est A\backslash (A\cap B). Mais ça parait tellement évidement intuitivement qu'en général on omet cette précision qui surcharge les notations plus qu'autres choses.

Nénanmoins, ce qu'on montre en réalité avec la méthode qu'on vient d'utiliser c'est que A\cap\overline{B}=\overline{\overline{A}\cap B}[tex] ce qui est assez évident à partir des règles de calculs avec les complémentaires. Et donc, le point qui est passé sous silence, mais dont il est facile de se convaincre, c'est que [tex]A\backslash B=A\cap\overline{B}. Pareil que précédement, intuitivement c'est ce qu'on comprend. Mais a strictement parlé, ce n'est pas ce qui est écrit.

Je suis pas sur que ce soit très clair...  

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:30

il manque : A\backslash B=A\cap\overline{B}

Posté par
drunknessre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:34

Si si, j'arrive à me représenter ce que tu dis. "Rien n'est chipotage, tout est perfectionnisme, grande qualité !"
Si A n'a aucun élément en commun avec B, c'est sur que A\B = A !
Intuitivement c'est ce qu'on comprend comme tu dis
Merci de cette précision et surtout merci pour l'aide !

Je pense maintenant avoir compris la "méthode" pour les démonstrations d'ensemble. Bon maintenant j'ai une fiche à finir !

Encore merci, sujet résolu !

Posté par
SiMatre : Exercice d'ensembles 07-09-11 à 19:36

Pas de quoi.

Si besoin, tu sais où me trouver...

Posté par
alexrere : Exercice d'ensembles 08-09-11 à 11:30

Bonjour il y a tout simplement à écrire A\B=Acomp.(B) et comp.(B)\comp(A) = comp(B)comp.(comp.(A) = comp(B)A.CQFD


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