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Exercice de sommes

Posté par
odonnel23 11-10-09 à 15:29

Bonjour à tous, je bloque sur un exercice de somme, voici l'énoncé

On pose, pour (k,n) appartient à N x N*: sk=\sum_{i=1}^{n} (i^k)

1. Calculer s0(n), s1(n), s4(3)

Réponse:
s0(n)= 1
s1(n) = (n+1)
s4(3) = (1-i5)/(1-i)

2. Justifier l'égalité: \sum_{i=1}^{n} (((i+1)^k)-i^k)=(n+1)^k -1

Là je ne vois pas comment faire. Je pensais juste à remplacer sa par n mais sa n'aboutie à rien.

Si quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît.

Merci d'avance

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 15:40

Bonjour

3$\rm S_o(n) =\sum_{i=1}^{n}(1)= 1^0+2^0+3^0+.... + n^0 (n termes)= 1+1+1.....+1 (n termes) = n \\ \\ S_1(n) =\sum_{i=1}^{n}(i)= 1^1+2^1+3^1.....+n^1 = 1+2+3+....+n= \frac{n(n+1)}{2} \\ \\

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice de sommes 11-10-09 à 15:41

Bonjour,

1) 3$S_0(n)=\sum_{i=0}^n1=n+1

3$S_1(n)=\sum_{i=0}^ni=\frac{n(n+1)}{2}

3$S_4(3)=\sum_{i=0}^3i^4=1^4+2^4+3^4=98

C' est un début...

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice de sommes 11-10-09 à 15:42

Bonjour jeanseb,

Ah, j' ai commencé à i=0...

Posté par
odonnel23re : Exercice de sommes 11-10-09 à 15:43

Oula j'ai pas compris pourquoi on fait comme sa... Ah si c'est bon 1+2+3+4...+n (faut pas oubliais k) et donc n0 ce n'est pas égale à 1? Car n'import quel chiffre puissance 0 fait 1... non?

Posté par
odonnel23re : Exercice de sommes 11-10-09 à 15:59

Vous pouvez m'aider pour la question 2?

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:00

Bonjour Cailloux

Citation :
Car n'import quel chiffre puissance 0 fait 1
oui, sauf pour 0.

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:03

Pour la 2, calcule toi même \rm\sum_{i=1}^{5} (((i+1)^3)-i^3) \\ \\ verifie ensuite que ca vaut bien =(5+1)^3 -1

Posté par
odonnel23re : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:04

ah d'accord sa marche.

Et pour la question tu as une idée de comment démarré?

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:06

Ben oui: tu as vu dans l'exemple que c'est une somme téléscopique: les termes s'éliminent 2 à 2 à chaque fois. Il ne reste donc que le dernier terme moins le premier.

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:07

Plus exactement: "la première partie du dernier terme" moins "la deuxième partie du premier terme". Soit....(à toi!).

Posté par
odonnel23re : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:13

Somme téléscopique? Je ne connais pas sa, enfin je vois bien ce qui faut faire.

Soit: (5+1)^3 pour la première partie du dernier terme et 1^3 pour la dernière aprtie du premier terme

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:16

Donc ca colle avec la formule donnée dans l'énoncé!

Démontre cela maintenant dans le cas général.

Posté par
odonnel23re : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:20

Donc on a (n+1)^k pour la première partie du dernier terme et i^k soit 1 pour le dernier terme.

Ce qui correspond avec la formule.

Par contre, sachant que ce n'est pas indiqué que ceci est une somme téléscopique, comment pourrais-je le préciser?

Posté par
jeansebre : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:27

Tu écris les 3 premiers termes de la somme et tu indiques que ca s'élimine. Tu mets aussi les 2 derniers pour montrer qu'il ne reste que la moitié du dernier. Ca suffira pour le prof!

Posté par
odonnel23re : Exercice de sommes 11-10-09 à 16:48

D'accord merci beaucoup

Pour la question 3. on me demande d'en déduire pour (k,n) appartient à N* x N* la formule: (n+1)^k -1 = $\sum_{j=0}^{k-1} (k j) s_j(n)$

(k j) est j partie k

Peut-tu m'aider à démarrer?

Je voulais faire une récurrence mais le calcul a l'air trop lourd


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