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exercice en algebre linéaire

Posté par
diablissa 06-09-09 à 04:49

Salut tt le monde, j aimerais bien que vous m aiiez a resoudre cet exerice:
Soient fn:R--->R          et gn:R---->R
        x----->cos(nx)         x----->cos^n (x)
Dans le R-ev R^R comparez vect (fn) et vect (gn)


Merci d avance

Posté par
arffre : exercice en algebre linéaire 06-09-09 à 08:39

Salut !

Petit indice

\cos (x)^n=\left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right) ^n=\ldots
Au final cos^n(x) s'écrit comme combinaison linéaire des cos(kx)

Dans l'autre sens, une petite récurrence, et utiliser le fait que
\sin(a)\sin(b)=1/2(\cos(a-b)-\cos(a+b)) semble fonctionner

Bon courage!

Posté par
diablissare : exercice en algebre linéaire 06-09-09 à 15:24

merci bien mais  j'ai encore un probleme .je vois pas ou je vais utiliser la reccurence

Posté par
arffre : exercice en algebre linéaire 06-09-09 à 15:37

Salut

Je te donne une piste, mais pas la réponse

L'idée est de montrer que cos(nx) peut être vu comme une combinaison linéaire de cos(x)^k, k<=n

On sait que \cos(nx)=\cos((n-1)x+x) = \cos((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-1)x)\sin(x)
En utilisant ma remarque, on peut transformer le \sin((n-1)x)sin(x) en fonction de cos(nx) et cos((n-2)x)  car \sin(a)\sin(b)=1/2(\cos(a-b)-\cos(a+b))
On isole ensuite cos(nx) dans un membre de l'égalité

Maintenant, ça serait bien qu'on puisse dire que cos((n-1)x) et cos((n-2)x) se mettent comme combinaison linéaire de cos(x)^k car ainsi on finirait l'exo...Ça serait donc ça notre hypothèse de récurrence...Tu vois où je veux en venir ?

Posté par
diablissare : exercice en algebre linéaire 06-09-09 à 16:17

j'ai bien suivi la demarche et j ai obtenu cos(nx)=2cos((n-1)x).cos(x)-cos((n-2)x)
c 'est bien ca ?


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