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exercice espace vectoriel : famille libre et dimension
Bonsoir,
j'ai un exercice d'algèbre a faire, mais je n'y comprend pas grand chose ...
justifier que (1, X, X² ... Xn) (n 
N*) est une famille libre de K[X]
En déduire à l'aide du théorème de la dimension que R[X] est de dimension infinie (raisonner par l'absurde)
Pour montrer que c'est une famille libre, je n'ai pas de problème, on l'a déjà fait en cours sur un exemple similaire.
mais je n'ai rien compris au théorème de la dimension...
Merci de me venir en aide !!
Salut 
Suppose R[X] de dimension finie égale à n.
Alors il existe une base finie .
Notons
Que dire du polynôme ?
je suis d'accord pour (1, X, ... Xd+1) libre, ca découle de la premiere partie de la question
mais comment continuer :s ?
Eh bien si elle est libre, ne peut pas être combinaison linéaire de polynômes de degrés inférieur à d !
je suis toujours ok !
Peux-tu continuer ton raisonnement stp ? (je comprends l'enchainement des étapes mais je ne vois pas ou tu veux aller !)
bah c'est fini là !
On a trouvé un élément de R[X] qui n'est pas combinaison linéaire des Pi, c'est contradictoire avec le fait que la famille des (Pi) soit une base non?
tu as surement raison !
je reverrais ca demain quand je serais un peu moins fatigué !
merci beaucoup de ton aide Nightmare !
juste une derniere question!!
en relisant mon cours, j'ai trouvé une note : dans R[X] toute famille échelonnée en degré est libre. est-ce vrai dans K[X]? si oui, cela simplifierait beaucoup la démonstration de la premiere partie !
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