Niveau Maths sup

exercice matrice

Posté par
poetessedor 03-05-08 à 20:51

j'ai besoin de la méthode pour résoudre l'exercice suivant...

Je n'ai pas compris grand chose aux exercices que nous avons fait jusque là...

Soit B=(X^k) une base de _n(X)

Soit E_k=C_n^kX^k(1-X)^n-k

Démontrer que B'=(E_k) est une base.

Ecrire la matrice de passage de B' à B (pour celle-ci, il faut écrire un système et le résoudre mais je n'ai pas compris ce qu'on fait des résultats, comment on les fait entrer dans la matrice...)

Posté par re : exercice matrice 03-05-08 à 21:42

Salut

c'est clair que la liberté de ta famille suffit pour prouver que c'est une base (puisque son cardinal est égal à la dimension de ton ev)

bon, si tu veux être rigoureux, utilise une récurrence.

Si tu veux être méthodique je te propose cette démo:

Soit $(a_0,...,a_n)$ de R telle que: $3$\rm\Bigsum_{k=0}^na_kC_n^kX^k(1-X)^{n-k}=a_0(1-X)^n+na_1X(1-X)^{n-1}+...+a_nX^n=0$

On évalue en 0 : $3$\rm a_0=0$

on suppose X différent de 0, et de plus on a: $3$\rm na_1X(1-X)^{n-1}+...+a_nX^n=0$ . On simplifie par X, on a: $3$\rm na_1(1-X)^{n-1}+...+a_nX^{n-1}=0$

Au voisinage de 0 ( quand $x\to 0$ ) an aura alors : $a_1=0$ .

Et ainsi de suite on aura prouvé que tous les coefficients sont nulles, et donc la liberté de ta famille.

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