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exercice polynome
bonjour,
pouvez vous m'aider pour cet exercice ?
soit n 
N*
montrer sans faire de récurrence que P=(x+1)n - xn est de degré n-1
et que toutes ses racines sont simples (d'ordre 1)
Déterminer ces racines.
Pour la première partie j'ai commencé à décomposer (x+1)n
ce qui donne xn + axn-1 + "termes de degré inférieur"
les deux xn se compensent et donc il ne reste plus que axn-1 + "termes de degré inférieur"
j'en déduis que ce polynome est bien de degré n-1
est-ce que cette démonstration est suffisante ou est-elle un peu légère ??
Par contre je n'ai aucune idée pour prouver que les racines sont d'ordre 1 et comment les déterminer ...
je n'ai vu la décomposition qu'avec des degré ''connus"
merci de votre aide
Bonjour 
Pour prouver que P est de degré n - 1 (exactement), il faut en plus constater que a n'est pas nul.
Pour prouver que les racines sont simples, il faut montrer que les racines de P ne sont pas racines du polynôme dérivé P'.
Zéro n'étant pas racine de P, l'équation P(x) = 0 équivaut à
Cordialement
Frenicle
Désolé, mais je ne comprend pas très bien ou vous voulez en venir ?
d'après l'énoncé il n'existe pas de racine double.
Pouvez etre plus clair?
merci!
Il faut montrer qu'il n'y a pas de racine double.
Donc qu'aucune racine de P n'est en même temps racine de P'.
en fait non je n'y arrive toujours pas !!
-frenicle, pouvez vous détailler comment vous trouvez (x+1/x)n = 1 car je n'arrive pas trouver pareil
-pour les racines je suis parti de (x+1/x)n = 1, et je trouve un résultat avec des racines n-ième de l'unité :
x = -1 / (1 - n
1) est-ce correct ?
j'ai compris en théorie comment prouver qu'il n'y a que des racines simples, mais en pratique ca donne quoi pour cet exemple ?
Encore merci de votre aide !
P(x) = 0 s'écrit (x + 1)n - xn = 0 ou (x + 1)n = xn
Comme x n'est pas nul car 0 est différent de 1, on peut diviser les deux membres par xn, ce qui donne
Ensuite, ta formule est bonne. Il faut prendre les racines nièmes de l'unité différentes de 1.
merci pour toute les réponses
cependant je cherche toujours comment montrer que les racines sont simples (je sais qu'il faut montrer que les racines de P ne sont pas celle de P' mais je ne vois pas comment faire)
j'ai vu un théorème sur internet que nous n'avons pas vu en cours : si pgcd(P,P') = 1 alors les racines de P sont simples
pouvez vous m'aidez avec une autre méthode que ce théorème ? merci
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