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exercice sur les bases duales
Bonjour, j'ai un exercice d'algèbre à faire qui traite de la dualité.
L'énoncé nous donne un système de trois formes linéaires de R3 dans R.
J'ai démontré que ces trois formes linéaires formaient une base de (R3)*, le dual de R3.
Ensuite l'énoncé dit "Déterminer la base duale en identifiant (R3)** avec R3.".
Que veut-il dire par "en identifiant (R3)** avec R3"?
Bonjour
En principe la base duale d'une base du dual se situe dans le bidual
(le dual du dual). Mais il se trouve qu'en dimension finie, il y a un isomorphisme canonique entre
et
défini par l'application qui à x (fixé) de E associe la forme linéaire définie sur le dual qui à f fait correspondre f(x).
En clair, si tu as une base de
on te demande de trouver des vecteurs
de
tels que
. Il s'agit de la base dont celle que tu as est la base duale.
J'ai étudié ta réponse Camélia et il y un une chose que je ne comprends pas.
Tu dis qu'il faut que je trouve la base de R3 dans (f1,f1,f3) est la base duale.
Or, quand l'énoncé dit "Déterminer la base duale", moi je comprends que je dois calculer la base duale de (f1,f2,f3).
Alors je ne sais pas ce que je dois faire.
Calculer la base duale de (f1,f2,f3)? ou calculer la base de R3 dont (f1,f2,f3) est la base duale? ou les deux?
En principe tu calcules la base duale de qui est dans le bidual. Mais comme celui-ci est identifié à
ça revient au même. De toute façon les calculs sont strictement identiques que tu calcules l'un ou l'autre!
Oui je comprends bien mais ça veut dire quoi précisément "le bidual est identifié à R3"?
Les calculs sont les mêmes, je le comprends, mais comment dois-je présenter les choses? Je dois présenter mes calculs comme base duale de (f1,f2,f3) ou comme base dont (f1,f2,f3) est la base duale?
Désolé Camélia, je sais que je pose beaucoup de question mais il faut que je soit certain de ce que je fais.
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