Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exercice sur les matrices nilpotentes
bonjour a tous
je trouve du mal avec l'exercice suivant et un peu d'aide serait la bienvenue:
Soit A et B deux matrices de Mn(C) et a_1,....,a_n,a_(n+1) des nobres complexes tels que
pour tout i dans [|1,n+1|], A+a_i.B est nilpotente.
Montrer que A et B sont toutes les deux nilpotentes.
j'arrive à le montrer si A et B commutent ( en utilisant la caracterisation de A nilpotente ssi tr(A^K)=0 pour tou K dans N*), mais dans le cas general je ne vois pas comment faire.
Merci.
Bonjour, carl7
C'est la planche 17a de l'Officiel de la Taupe (je fais beaucoup de pub pour l'Officiel de la Taupe, en ce moment 
).
Il existe (n+1) matrices (M_i) telles que:
avec, en particulier et
On sait que s'annule pour n+1 valeurs de t.
On considère les polynômes
, k et l étant deux entiers compris entre 1 et n.
Ces polynômes sont de degré inférieur à n et ont au moins n+1 racines. Ils sont donc tous égaux au polynôme nul.
On en déduit que toutes les matrices M_i sont nulles.
En particulier
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac