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Exercice sur les polynomes
Bonjour,
voila deux jours que je bloque sur l'exo suivant :
je dois trouver les couples (P,Q) de polynomes réels tels que
P^2=1+(X^2 - 1)*Q^2
S'il y n'y avait pas les carrés, ce serait un systeme linéaire et je sais résoudre. Donc j'ai essayé de voir parmis les solutions de P=1+(X^2-1)Q lesquelles sont des carrés...sans succès.
J'ai aussi réécris l'équation sous la forme (P-1)(P+1)=(X-1)*(X+1)*Q^2 et essayé de distinguer les cas X-1 divise P+1 ou P-1...sans succès non plus.
Finalement j'ai essayé de raisonner sur les degrés mais ça ne mene a rien.
Merci d'avance...
salut,
j'ai une piste, dis-moi ce que tu en penses.
Tu écris P = sigma(k=0;k=n; a_k *x^k)
et Q = sigma(k=0;k=n; b_k* x^k)
où n est quelconque.
Tu vas donc tomber sur des (sigma)^2, que tu dois encore une fois expliciter en
P^2=sigma(k=0;k=n; a'_k *x^k)
et Q^2=sigma(k=0;k=n; b'_k *x^k)
Tu compares ensuite aux degrés 1..n
Il est vrai que le rapport entre a' et a , et b' et b, n'est pas trivial.
En tt cas c'est la seule idée qui me vient
non, c'est vraiment pas compliqué, mais c'est la solution pour trouver P et Q tel que P=1+(X^2-1)Q.
C'est une méthode très classique ! je t'assure ! Et tr`s puissante. Tu peux avec cette méthode aussi résoudre des équations différentielles.
Un peu de courage, je ne vois pas autre chose, ça va marcher !
Je vais essayer mais bon dans le chapitre arithmétique des polynomes ça m'étonne il n'y a pas de théorie derrière ce calcul
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