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Exercice sur les sommes sur un ensemble d'indices quelconque
Bonsoir,
Voici un exercice dont nous avons eu des bribes de corrections en TD mais qui reste pour moi obscure:
Soit (ai[\sub])[sub]i
Iune famille d'éléments de 
{
}. On défini:
iIai= supI'P[sub]f(I)[/sub]iI'ai, où Pf(I) est l'ensemble des paries finies de I.
(a) Montrer que si I=
la somme ainsi définie n'est autre que la limite de la série de terme général ai au sens usuel.
(b) Monter que si iIai est finie alors J={iI/ai>0} est dénombrable.
(c) Soit (Ij)jJ une partition de I. Montrer que :
iIai=jJiI[sub]j[/sub]ai
(d) Soit (ai,j[\sub])[sub](i,j)IXJune famille d'éléments doublement indexés de {}. Montrer que :
(i,j)IXJai,j=jJiIai,j=iIjJai,j
Merci d'avance pour votre aide...
Bonsoir,
Ca attirerait plus les foules si ton message serait un plus plus lisible.
Il doit y avoir une erreur dans ton énoncé doit plutôt être une famille de
, non?
En effet, c'est bien une famille de [0,\infty]. Je suis désolé si ce n'est pas tres lisible, je me suis emmelé dans les bornes de code visiblement...
Pour la a),
on veut donc montrer que
Commence par montrer que chacun des termes de la suite des sommes partielles de
sont inférieur ou égales à
,
et alors la somme de la série aussi.
Puis montre que toute partie finie de
,
, pour un certain
, et par croissance de
, la somme de la série
est plus grande aussi que
,
c'est donc un majorant des , et donc est supérieur à sa borne supérieure:
.
Merci beaucoup!
Pour la b),j'ai écrit qu'on peut voir J comme la réunion pour n dans N* des {iI : ai>1/n} après montré par l'absurde que ces ensembles sont dénombrable. Ainsi j'ai J dénombrable.
Par contre pour la c) je sèche vraiment.
il faut faire gaffe dans le membre de droite que dépend de
,
après tu peux essayer peu de la même façon que pour a).
Tu fais par double inégalité, et à chaque inégalité, tu commences par la montrer pour le cas fini, puis tu passes au sup.
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