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exercice sur un endomorphisme nilpotent!
bonjour
je coince dans cet exo..
Soit Dim (E) = n < oo et soit f un endomorphisme de E nilpotent d'indice n..
dans les question precedente je devait montrer que pour tout x 
E tel que fn-1(x) 
0E , on a la famille F = (x, f(x) , ... , fn-1(x)) qui est libre donc est une base de E.. ce que jai prouver..
Ensuite on me demande la matrice M = Mat(f,F,F) , qui est
0 0 0 ... 0 0
1 0 0 ... 0 0
0 1 0 ... 0 0
..............
..............
0 0 0 ... 1 0
la question que je n'arrive pas a trouver et celle qui suit:
En deduire que quelque soit k
\{0} , Tr(fk) = 0
Comment faire?! je vois bien que Tr(f) = 0 d'apres la matrice mais apres .. 
merci!
Bonjour
Plusieurs possibilités:
D'abord c'est facile de calculer les puissances de ta matrice, et de regarder les traces...
Plus intéressant: tu ne précises pas le corps de base... mais en admettant que ce soit C, on sait que la trace est la somme des valeurs propres...
les valeurs propres sont dans le prochain chapitre donc je ne pense pas qu'on doit l'utiliser ici (et je ne suis pas vraiment caller dessus ^^) donc je pense qu'il faut utiliser les puissance de la matrice..
on me dit que E est un K e-v donc le corps peut etre Q, R ou C
on a tr(fk) = tr (Mat(fk,F,F) = tr(Mk)
or en calculant je vois que M2 est la mm matrice que M avec la diag des 1 descendu de 1 lignes et a chaque nouvelle puissance on descend la diag des 1 jusqua arrive a
Mn-1 =
0 0 0 ... 0 0
0 0 0 ... 0 0
0 0 0 ... 0 0
..............
..............
1 0 0 ... 0 0
et 
k 
n on a Mk = la matrice nulle
donc on voit que la trace est toujours egale a 0 mais bon ca me parait un peu juste comme demo ^^
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