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Exercices Injective, surjective et bijective

Posté par
bill159 11-11-09 à 17:16

Bonsoir,

Je sollicite une aide à propos de cet exercice:

Soit \large f:R \to R définie par \large f \left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}}

1) f est-elle injective? Surjective?

je trouve deux éléments qui corespondent à une image donc f n'est pas injective.

et je trouve un élément d'arrivée qui n'admet pas  d'antécédent donc f n'est pas surjective.

2) Montrer que \large f\left( R \right) = \left[ { - 1;1} \right]

\large f\left( x \right) = y et je prend toute valeur de y pour laquelle est positif.

3) Montrer que la restriction \large g:\left[ { - 1;1} \right] \to \left[ { - 1;1} \right]:g\left( x \right) = f\left( x \right) est une bijection.

je bloque à cette question...

Merci d'avance

Posté par
bill159re : Exercices Injective, surjective et bijective 11-11-09 à 17:30

J'imagine que je dois trouver les solutions de l'équation \large g(x)=y et dire qu'il n'y qu'une seule solution entre -1 et 1

je trouve \large x= \frac{y}{{1 - \sqrt {1 - {y^2}} }}=h(y) h étant une fonction inverse de g.
donc g est une bijection.

est-ce juste?

Posté par
oliveirore : Exercices Injective, surjective et bijective 11-11-09 à 18:32

Salut,

pourquoi ne fais-tu pas une bête étude de fonction avec dérivée, limites, tableau de variations, ...
En faisant de la sorte, tu peux répondre aux 3 questions rapidement.

++

Posté par
bill159re : Exercices Injective, surjective et bijective 11-11-09 à 20:38

j'ai fais l'étude de fonction seulement pour la question 1 (ces variations) voilà...
pour les deux dernières questions, il n'y a pas de problème.
je résous f(x)=y et je regarde toutes les valeurs que f prend lorsque delta positif
et pour la troisième question je dis qu'il existe y et je créer une application inverse h et je dis qu'il existe y tel que h(y) soit défini, j'ai défini une bijection réciproque et dans ce cas je peux conclure que f réalise une bijection.

Bonne soirée!

Posté par
oliveirore : Exercices Injective, surjective et bijective 11-11-09 à 20:50

Bah oui mais n'empêche qu'en montrant que f(-1)=-1, f(1)=1 et f strictement croissante (tout ça vient du tableau de variation), on a fini la question 3.


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