Bonsoir,
Pour 3)b), je pense qu'il faut raisonner sur l'ordre k de la racine z₀.
(X-) P(X) = (1/n)(X²-1) P'(X)
Si z₀ est différent de 1 et -1, l'ordre à gauche est supérieur ou égal à k alors qu'à droite c'est k-1.

salut

je ne comprends pas comment on peut conclure a/ : un polynome de degré 2 appartient à par exemple ...

si T(P) = kP avec k réel alors T(P) et P ont même degré et ce n'est pas nécessairement n

si P n'est pas le polynome nul alors peut-il être constant ?

le théorème de D'Alembert-Gauss permet alors de conclure


si T(P) = kP alors

mais ensuite ...

Bonsoir carpediem,

Merci de vos réponses !
Carpediem je n'ai pas compris votre remarque
Sylvieg j'ai dit que deg(T(P))=deg(P)+1.

sylvieg je ne comprends pas votre réponse pour 3b : Mon raisonnement est-il faux ? Ne faut il pas utiliser la multiplicité des racines pour 3c ?
En vous remerciant

Je me permets d'intervenir en l'absence de Sylvieg et de carpediem

Si est tel que et , on a effectivement et .

En effet on établit assez facilement que et que pour tout , .

Et donc si est le monôme de plus haut degré de avec et ,

on voit (en utilisant la linéarité de ) que le monôme de plus haut degré de est .

Merci elhor_abdelali pour ton intervention.

@NapoleonDuRoy,
Ce qui ne va pas dans ton raisonnement du 3)b) :

Merci j'ai compris ce qui n'allait pas !
Auriez-vous des pistes pour la 3c ? Peut on dans ce genre de questions passer par récurrence en supposant que P est de la forme indiquée et montrer qu'il vérifie bien les conditions que doit vérifier P ?

damned j'ai fait une erreur ... et pourtant j'ai raisonné (de tête) comme elhor_abdelali sur le monôme de plus haut degré !!

Pour 3)c), utiliser la factorisation de P(Z) avec ses seules racines dans qui sont 1 et -1.

Mais je ne vois pas d'où viennent les puissances n-k et k. Quand on met P sous forme factorisée il faut prendre en compte la multiplicités des racines ie 1 et-1 mais je ne comprends pas comment faire apparaître les puissances

Le polynôme P est de degré n.
Dans , il est factorisable par des polynômes de degré 1.
Si 1 est une racine d'ordre k, alors P est factorisable par (X-1)^k.
Le quotient est un polynôme de degré n-k dont la seule racine est -1.

Je ne vais plus être disponible avant trois petites heures.

Je n'ai pas compris votre dernière phrase : "Le quotient est un polynôme de degré n-k dont la seule racine est -1" Comment le sait-on ?
J'avoue que j'ai mal compris cette partie du cours : le lien entre la multiplicité d'une racine et la divisibilité du polynôme.

Hors du contexte de l'exercice, que signifie est racine d'ordre k du polynôme U(X) ?

Soit tel que .

Alors on a nécessairement car sinon d'après on aurait (et donc )

et ce qui est clairement absurde.

On a et donc en particulier n'est pas constant,

il admet donc au moins une racine complexe. (d'après D'Alembert Gauss comme l'a précisé carpediem )

Soit alors une racine complexe de de mutiplicité ,

on a donc et .

En dérivant fois (par Leibniz) l'égalité ,

on a

puis en faisant on voit que et donc .

Pour Sylvieg : si alpha est racine d'ordre k alors c'est k fois la racine du polynôme. Par ex 0 est racine d'ordre 2 de la fonction carrée. C'est juste ? On peut factoriser le polynôme avec sa racine à la puissance de l'ordre. Mais comment savoir si 1 est racine d'ordre k et non -1 Pourquoi pas l'inverse ?

Tu commences par :
Soit k l'entier qui est l'ordre de la racine 1.

Remarque que k peut être égal à 0.

Comme l'a bien expliqué Sylvieg (bonjour Sylvieg ),

le polynôme (qui est de degré ) est scindé (sur )

il est donc (à un coefficient multiplicatif non nul près) produit de polynômes unitaires du premier degré .

Et comme les (n'étant autre que les racines complexes de ) ne peuvent valoir que ou ,

on voit (en groupant les facteurs identiques) que est de la forme : avec et

Bonjour elhor_abdelali
Le mot scindé me semble tout à fait pertinent ici.
Mais NapoleonDuRoy en connait-elle le sens ?

Oui Sylvieg le profil de NapoleonDuRoy indique autre Prépa !

Le chapitre polynômes (et fractions rationnelles) de la première année pcsi (par exemple) définit le mot scindé.

D'une autre part même si l'énoncé n'utilise pas le vocabulaire de la réduction des endomorphismes en dimension finie,

il fait chercher à l'élève (sans le dire explicitement) les valeurs propres et les espaces propres de l'endomorphisme .

Concernant la définition du mot scindé on l'a bien vu en cours ! Un polynôme de degré n est scindé s'il admet exactement n racines comptées avec multiplicité.
Concernant la remarque d'elhor, étant en PCSI (vive la chimie), nous n'avons pas vu (encore?) les notions d'endomorphisme.
Ce que je ne comprends pas dans vos réponses c'est le choix des puissances. En effet k peut être égal à 0 mais s'il vaut n alors (X+1)^n-k devient 1 aussi. Ce que je ne cerne pas c'est pourquoi (X-1) est à la puissance k et non (X+1). Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Derrière la notion de scindé, c'est pour dire qu'on peut mettre P sous la forme P = alpha(X-zi) où zi sont les différentes racines.
En tout cas merci beaucoup de vos réponses très utiles !

X-1 est à une certaine puissance. Tu la notes comme tu veux.
L'énoncé la note k.
Tu peux la noter t si tu préfères.

Mais pourquoi pas à la puissance n-k ?

elhor : Je viens de comprendre votre raisonnement à la 3b) c'est super ingénieux ! merci beaucoup

Concernant la 4) pour déterminer les polynômes validant les conditions je reprends bien l'expression proposée en fonction des racines et je montrer que cela fonctionne ? Par contre je sèche pour le lambda, j'ai tout remplacé mais j'obtiens une expression de lambda en fonction de X...

Bonjour,
Je reviens sur 3)b) et mon idée de démonstration ( sans Leibniz ).
Avec les notations de elhor_abdelali :
Soit m l'ordre de multiplicité d'une racine complexe de P.
m 1.
P(X) = (X-z₀)^mQ(X) avec Q(z₀) 0 .
z₀ est alors racine d'ordre m-1 de P'(x).
Si non connu :
P'(X) = m(X-z₀)^m-1Q(X) + (X-z₀)^mQ'(X)
P'(X) = (X-z₀)^m-1[mQ(X) + (X-z₀)Q'(X)]
P'(X) = (X-z₀)^m-1A(X) où A(z₀) 0 .

Si T(P) = P on a
(1/n)(X²-1)P'(X) = XP(X) - P(X)
(1/n)(X²-1)(X-z₀)^m-1A(X) = (X - )(X-z₀)^mQ(X)
(1/n)(X²-1)A(X) = (X - )(X-z₀)Q(X)
D'où (1/n)(z₀²-1)A(z₀) = 0 .
Et enfin z₀²-1 = 0 .

1) et 2) Si P est nul, le résultat est trivial.
Si P est constant, Q est de degré 1 donc appartient à parce que .

Sinon, on écrit P sous la forme avec d le degré de P, R(X) de degré au plus d-1 et non nul son coefficient dominant.
Alors le premier terme de la différence qui définit Q(X) est un polynôme de degré d+1 et de coefficient dominant . Le second est de degré 2 + d-1 = d+1 aussi, de coefficient dominant .

Par conséquent, si d = n, Q est de degré au plus . Sinon, il est de degré exactement , avec un coefficient dominant

3)a) On a déjà dit au 2) que si P est de degré 0 < d < n, T(P) est de degré d+1. Mais alors aussi. Or, ce dernier est nul si (ce qui ne peut pas être le cas de P qui est au moins de degré 1), et de degré d < d+1 sinon.

Si P est constant (de degré 0), alors est une égalité absurde entre un polynôme de degré 0 et un polynôme de degré 1.

La seule possibilité est que P soit de degré n

3)b) On commence par remarquer que .

D'après 3)a), P est de degré n > 0, donc le théorème de d'Alembert-Gauss nous assure que P a au moins une racine (et même, qu'il en a exactement n). D'où l'existence de .

Injectons cela dans notre équivalence. Si m est la multiplicité de la racine , il existe un polynôme Q de degré n-m tel que et .

L'égalité devient donc .
On évalue cela en pour trouver que . m est une multiplicité, non nulle, et est non nul par maximalité de m. Comme est un corps, intègre, on a , ie

3)c) On sait que P a au moins une racine, , qui est soit 1, soit -1 et nous avons appelé sa multiplicité. Le théorème de factorisation nous dit qu'on peut écrire P sous la forme , où est l'ensemble des zéros de P. Comme le degré de P est n d'après 3)a), le produit des est de degré n-m.

Par ailleurs, peut être vide si est la seule racine, auquel cas le produit vaut 1.
Dans le cas contraire (P a au moins deux racines, donc exactement deux), il est de cardinal 1 et la multiplicité m(z) du seul élément qu'il contient est m(z) = n-m.
Les deux cas peuvent être synthétisés en . Si ajoute cela au fait que , qu'on renomme en , et si on appelle k la multiplicité de 1 comme racine de P (éventuellement nulle, si -1 est la seule racine), on trouve l'expression demandée par l'énoncé,


4) On réinjecte cette forme dans notre équivalence.
Notre égalité devient
On évalue en 0 : . Or, P'(0) correspond au coefficient de P si on l'écrit .
Ce coefficient est aussi donné par les relations coefficients-racines : .

est facile à calculer, c'est , parce que la racine qui manque parmi les n-1 est soit 1 soit -1, et le produit des racines est
On en déduit que d'où

Elhor : Merci ! C'était très clair !
Ulmière : Je n'en demandais tant
Je vais regarder de plus près l'approche pour la 4 avec l'utilisation des racines ainsi que la 3c avec l'ensemble crée et les 2 cas à distinguer. Merci d'avoir pris le temps !
En tout cas merci à tous pour votre aide pour cet exercice, j'ai mieux compris un point du cours qui me semblait obscur (la factorisation à la 3c) c'est très gentil à vous !