bonjour j'ai un dm a rendre mais j'ai reussi que une question sur cet exerice donc j'aurais besoin d'aide


Soient A1, A2, deux ensembles non vides.
On définit les fonctions :
1 : A1 x A2 A1
2 : A1 x A2 A2
Avec 1((x1,x2)) = x1 et 2((x1,x2)) = x2
On appelle ces fonctions premiere et deuxieme projection respectivement.

(i) Soit X un ensemble quelconque et f1, f2 deux fonctions :
f1 : X A1
f2 : X A2
Quelle est la fonction f:X A1xA2 telle que 1 o f = f1 et 2 o f = f2 ?

(ii) Montrer que pour tout B A1 on a 1(1^-1(B)) = B

reponse que j'ai trouvé : soit y 1(1^-1(B))
il existe x ^-1(B) tel que y=1(x) et dinc y=1(x)B

(iii) Montrer que pour tout BA1xA2 , on a B1^-1(1(B))
Est ce que l'inclusion reciproque est vraie en general ?

(iv) Qupposons que A1 et A2 sont non vides
donner des fonctions injectives
1 :A1 A1xA2
et 2 : A2 A1xA2
telles que 1o1 = IdA1
2o = IdA2