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Existence d'un entier tel qu'une famille de vecteurs soit liée
Bonjour à tous !
Alors voilà je bloque sur une question toute bête, et ça m'énerve !
Il s'agit de la question suivante :
On considère un endomorphisme u d'un K-ev E, de dimension finie n.
Soit x un vecteur non nul de E.
Montrer l'existence d'un plus petit entier q, tel que la famille de vecteur (x,u(x),u²(x)...,u^q(x)) est liée.
Je suis donc parti sur le fait que l'ensemble de tels entier q est une partie de N, qui est minorée par 0, et il suffit donc de montrer qu'elle est non vide pour qu'elle admette un plus petit élément (d'après l'axiome de N)
J'ai donc essayer de supposer par l'absurde que pour tout q appartenant à N, la famille est libre, et je n'arrive pas à trouver d'absurdité.
Il doit y avoir un rapport avec la dimension de l'espace, mais je n'arrive pas à trouver.
Voilà, un peu d'aide serait la bienvenue !
Merci d'avance,
Waz
Bonjour,
Que penses-tu de q = n ? N'oublie pas que tu travailles en dimension finie !
C'est le lemme de steiniz.
Ah oui d'accord, effectivement je viens de relire ce lemme, il était tellement basique que je l'avais complètement oublié ! =s
Je vais essayer de revoir comment on le démontre proprement pour répondre à ma question
Merci pour cette petit piqure de rappel lol
Lool tu ne crois pas si bien dire, c'est justement le but du problème dans lequel se situe cette question ^^
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