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Existence d'une matrice de covariance
Un petit exercice, très subtil!
Existe-il un vecteur gaussien dont la matrice de covariance soit :
Déjà il faudrait que .
Ensuite, je ne vois pas comment étudier les covariances.
Une piste ?
La matrice est symétrique réelle donc diagonalisable!
Il existe une base dans laquelle cette matrice s'écrit donc il existe bien un tel vecteur gaussien
avec
et
indépendants!
C'est pas le but de faire de l'algèbre linéaire, je pense que c'est bon comme ça ?
si c'était le cas...alors X1 et X2 serait indépendant or c'est pas le cas.
seul X1 et X3 sont indépendants et X2 avec X4...
Raymond te dit de la diagonaliser...tu dis oui,c'est possible...
si on la diagonalise ça veut dire que les covariances de (X1,X2)...sont nulles non?
or ici avec cette matrice là, X1 et X2 ne sont pas indépendnats...tu vois que X1 est indépendants de X3 et X2 de X4 mais X1 et X2 ne sont pas indépendants(covariance non nulle).
donc je dirais qu'il n'existe pas de tel vecteur gaussien?
Ah je vois ce que tu veux dire!
Mais si dans une certaine base on peut la matrice de covariance de manière à ce qu'elle soit diagonale, cela ne signifie pas que les composantes du vecteur , qui sont des v.a. gaussiennes sont indépendantes ?
A moins qu'il faille aussi exprimer le vecteur dans cette nouvelle base ?
Raymond> quel était le but premier de diagonalisr la matrice?(je veux dire mise à part de la rendre diagonale
)
J'avais imaginé un truc :
On a l'expression de la matrice dans la base canonique et qui est donnée par l'énoncé
ainsi que celle du vecteur
.
C'est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable : il existe une base dans laquelle
.
En exprimant le vecteur dans la base
on aura que ce vecteur est gaussien avec ce que j'énoncé à 13:32.
Mais le passage d'une expression à une autre, c'est juste réaliser une certaine opération linéaire non ?
Donc je pense que c'est oui!
Y'a quoi dans votre cours ? Existence si et seulement si la matrice est symétrique positive ou symétrique définie positive ? Dans le premier cas, ceci est équivalent à symétrique et valeurs propres positives, strictement positives dans le second cas. Les valeurs propres sont précisément les coefficients diagonaux de la matrice diagonalisée.
Existence si et seulement si la matrice est symétrique positive ou symétrique définie positive ?
>??
existence ssi det(matrice de covariance) non nul...
Dans le cours on dit que la matrice de covariance est symétrique et semi-définie positive.
Donc ici, on diagonalise la matrice et on regarde le signe des coefficients diagonaux ?
Ici, il semble qu'il y en ait un qui soit nulle, donc c'est pas bon ?
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