Bonjour,
alors ca dépend ce que tu connais...
Tu pars du tout début? (sans resultat a la sylow?)

Si je connais le (les ?) théorèmes de Sylow ! (enfin je viens de les voir, donc c'est pas du solide)

Salut tout le monde,
ça cache le premier théoreme de Sylow et le théoreme de Cauchy tout ça!

Et oui, ça y ressemble, et je me doute qu'il faudra utiliser le 1er théorème de Sylow, mais je ne vois pas comment...

Ben alors le (premier?) theo de sylow t'assure l'existence d'un p groupe d'ordre maximal...disons H.
Alors si ordre de H=p c'est fini...Supposons avoir prouvé le resultat pour tos les groupes d'ordre p^i avec i<s. Si ordre de H=p^s...Considère x un element d'ordre p du centre (qui existe toujours, pourquoi?) puis regarde H/<x>, il est d'ordre p^{s-1} et donc continent L un sous groupe d'ordre p^k pour tout k de 0 à s-1.
Tu conclut facilement....

pour moi, c'est l'énoncé meme du premier théoreme de Sylow,la démo est longue!

Rodrigo: en tout cas,il est énoncé tel quel dans mon cours!

Salut robby
Pour moi le théo de Sylow dit uniquement qu'il en existe d'ordre le plus grand possible...
Cela dit on peut redemontrer le theo de Sylow...C'est pas tres dur...et on plein de demo a disposition!!

Hum, je précise que j'ai énormément de mal en algèbre.
J'ai déjà du mal à voir sur quoi on fait la récurrence. Sur la valuation de p dans n ?
Ce que je comprends, c'est qu'on dit : soit G un groupe d'ordre n, avec p qui divise n, et p premier.
Si la valuation de p vaut 1 : alors par le premier théorème de Sylow, il existe un sous groupe de G d'ordre p.
Reste à prouver l'hérédité.

C'est ça, pour le raisonnement ?

Je suis en trai nd'essayer de voir pourquoi le centre contient un élément d'ordre p. La formule des classes joue t-elle un rôle ?

Oui c'est essentiellement la formule des classes...

Je galère !
Au milieu d'une démo du cours, on prend un p-Sylow P, et on le fait agir par conjugaison sur l'ensemble des p-Sylow. Il y a une orbite (celle de P) réduite à un élément, et j'ai compris pourquoi les autres avaient un cardinal supérieur à 2. Mais pourquoi leur cardinal est-il une puissance de p ??

OK, c'est parce que si je prend un p Sylow Pi et son orbite O(Pi), alors son cardinal est égal au cardinal du quotient G/Stab(Pi), qui est une puissance de p. Ca doit être ça.

Revenons à la récurrence.
Je suppose que si la valuation de p dans n est comprise entre 1 et s-1, alors c'est bon, on peut trouver ses sous groupes de G d'ordre pⁱ, pour i=1..s-1.
Supposons que la valuation de p dans n est s. D'après le théorème de Sylow, il existe un sous groupe de G de cardinal p^s. J'appelle H ce groupe.
je fais agir H sur l'ensemble des p-Sylow de G. La formule des classes donne :
Card(H) = Z(H) + [somme des cardinaux des autres orbites, qui sont des puissances de p]
Donc Car(H) = Z(H) + multiple de p
Si Z(H) = 1, contradiction (multiple de p = 1 + multiple de p).
Donc le centre de H est non trivial. C'est bon jusque là ?

Oui c'est ça!
Le centre d'un p-groupe n'est jamais trivil par la forume des classe, puisque le cardinal du centre est divisble par p et superieur ou égal a 1...

Ok, je continue en disant qu'il existe un élément x d'ordre p dans le centre (théorème de Cauchy ; pas moyen de faire sans ce théorème ?). H/<x> est alors d'ordre p^s-1. Hum je vais chercher comment conclure...

Je suis en train de chercher un morphisme de H dans G et de noyau <x>, je pourrais conclure par 1er théorème d'homomorphisme...

La theorème de sylow est bien plus fort quele theorème de cauchy, on utilise sylow ici...

Oui mais là j'ai juste montré que le centre de H est non trivial. Comment montrer sans Cauchy qu'il existe un élément d'ordre p ?

Ben par sylow il existe un p groupe d'ordre max dans G...que l'on note H...
maintenant on se restreint au groupe H, on oublie le groupe G...
H est un p-groupe, c'est pas très dur de montrer que dans un p-groupe il y a un element d'ordre p

Ben je vois pas, sans utiliser Cauchy. Tous les éléments ont pour ordre une puissance de p, d'accord, mais pourquoi y aurait-il un élément d'ordre p ? Je vais me coucher, j'y réfléchirai demain.
Merci beaucou en tout cas rodrigo pour ton aide !

Hum je vois toujours pas pourquoi il y a un élément d'ordre p dans un p-groupe...

Ben prends x dans G, lors x^p^r=1, et donc x^r est d'ordre p...

Ok, je viens de reprendre l'exo parce qu'il y avait beaucoup de trucs faux (dans mon post du 19-10 a 20h31, j'ai pas du tout pris la bonne action, et donc pas montré la non trivialité du centre du bon ensemble...).
Je suis donc arrivé au point où je trouve que l'ensemble H/<x> est de cardinal p^(s-1), donc par hypothèse de récurrence contient des sous groupe de toutes les puissances de p qu'on veut jusqu'à s-1. mais comment conclure en disant que H contient des sous groupes d'ordre une puissance de p, pour p de 1 à s ?

Ben regarde l'image inverse (par la projection canonique) de ces sous groupe dans H...

Je vais encore t'embêter Rodrigo (je fais pas exprès, promis), une dernière fois sans doute !

J'avais pensé à faire intervenir la projection canonique, : G G/H

Mais si on a un sous groupe A de G/H, pourquoi ^-1(A) est du même ordre que A ?