Bonjour Rodrigo

J'avais l'habitude de faire ces exos... Tout dépend de ce que tu donnes comme indications, comme ça le second est quand même un peu abrupt! Pour le premier je suppose que tu voulais le minimum pour et non nul!

Heu oui c'est pour x et y dans Z², bien sur!

C'est des exos de type X-ens, donc sans préparation, c'est pour ca qu'ils sont un peu abrupts, il est censé y avoir dialogue avec l'examinateur. Disons que mes éventuelles indications s'adaptent a ce que fera le candidat.

Je suis pas sur que le second soit plus déroutant pour les prepas... Ils sont pas habitués aux formes quadratiques, ni a travailler sur Z

Bien sur, tu connais ton public! le mien n'était pas du même niveau! Mais ça me parait correct.

Ben justement, j'ai pas mal de mal à m'ajuster au niveau des élèves... J'ai malencontreusement "torturé" un élève la dernière fois sur le theorème de Witt (sur les formes quadratiques) alors que ca me semblait assez simple...je voudrais eviter que ca se reproduise.

A priori il ne me semble pas que ça soit plus difficile, mais peut-être moi aussi je juge mal... Ca fait un bout de temps! Néanmoins, la manière dont on conduit l'entretien est essentielle, j'ai réussi à tirer des trucs très difficiles d'élèves pas très forts, bien sur sans tout faire moi-même!

Salut

Le premier sans indication, c'est chaud, faut l'avouer. Yavait 5 questions aux ens pour prouver ce truc cette année. Mais si ya un dialogue entre l'examinateur et le khôllé, j'pense que ça doit pouvoir se faire...

Arf...c'est tombé aux ens...bon ben je vais le changer alors....

Le deuxième je pense avoir compris l'idée, donc ouais, faisable.

Ah non en fait, j'ai admis implicitement un truc qui n'a aucune raison d'être vrai (enfin, ça a plutôt interêt à l'être sinon est mal mais bon...)...

^^

Ah non, ça marche quand même. Vive BL...

Bon a la place je mettrai
1) Quels sont les morphisme de groupe de Q dans GL(2,Z)?
2)Soit G un groupe fini de GL(n,Z) montrer que |G|<=(3^n-1)...(3^n-3^{n-1})

Ou bien
Soit A et B deux matrices unitaires (diagonalisables) telle que |1-B|<2 et A et (A,B) commutent, montrer que A et B commutent.

(C'est pas un tombé à un quelconque concours?)

Le premier me dit vaguement quelque chose (surtout la deuxième question, j'suis sur de l'avoir déjà vu dans un sujet récent, genre 2006).

Pour le deuxième... vas-y, tant que tu y es, fais le démontrer le théorème de Jordan.

Je les avais posté les 2 justement (dans un sujet sur ce théorème de Jordan d'ailleurs)

Je suis quand meme curieux de savoir, quelles sont les 5 question pour le tout premier exo, parce que ma démo fait une dizaine de lignes...

Le fait qu'il faisait figure de résultat intermédiaire y est peut être pour quelque chose alors. Et puis, on le démontre dans un cadre un tant soit peu plus général.

On prend phi une forme quadratique définie positive. On dit que (v1,...,vn) est une base entière de R^n ssi tous les éléments de Z^n s'écrivent comme combinaison linéaire à coef entier des v_i.

1) Démontrer que m est atteint par un vecteur de Z^n.
2) Montrer l'existence d'une base entière de R^n (v1,...,vn) telle que phi(v1)=m.
3) Montrer qu'il existe une forme linéaire L de R^n et une forme quadratique phi' de R^(n-1) vérifiant:
i) L(1,0,...,0)=1
ii)phi(x1*v1+...+xnvn)=m*L(x1,...,xn)+phi'(x2v2+...,xnvn).
4) montrez que phi' est également définie positive et que det(phi)=m*det(phi').
(le déterminant de phi, c'est le déterminant de sa matrice dans la base canonique).
5)montrer que pour tout (x2,...,xn) dans Z^(n-1) il existe x1 dans Z tel que |L(x1,...,xn)|<=1/2
6) Montrer que m(phi)<=4/3m(phi').
7) En déduire par récurrence que m(phi)<=(4/3)^((n-1)/2)det(phi)^(1/n)
8) Démontrer par récurrence qu'il existe une base entière (v1,...,vn) de R^n telle que: phi(v1)...phi(vn)<=(4/3)^(n(n-1)/2)*det(phi).


Et voici donc, la question 4 de la partie II de ce bon vieux sujet de math I, version 2009.