Bonjour,
Par l'absurde si f ou g non nul vérifiant ta relation en considérant
f(x+y)g(x+y)=0 on doit tombé sur une absurdité je posterais plus tard si tu ne trouve pas.

il y a une  façon:             autre ???
si f et g non nulles..
pour tout x, on a f(x)=0 ou g(x)=0

il existe donc 2 éléments x et y tels que:

f(x)= 0
g(x) différent de 0
g(y)=0
f(y) différent de 0...


mais f(x+y) = 0  ou g(x+y)=0
etc....

Soient K un cc , E un K-ev non nul et f,g dans E* telles que f.g = 0 et f 0 .
Soit a E tel que f(a) 0 (alors g(a) = 0).
E est donc somme directe de Ker(f) et de K.a .
Soit x E. On peut donc trouver y Ker(f) et K tels que x = y + .a
On a donc 0 = f(x)g(x) = f(a)g(y) donc g(x) = 0 si 0.
Si = 0 on a x = y ,g(x + a) = 0 ,g(x - a) = 0 donc g(2x) = 0.
Si 2 est inversible dans K on a g(x) = 0 et , dans ce cas , g = 0.

Que se passe-t-il si ,dans K , on a 1 + 1 = 0 ?

même si K est de caractéristique 2, la propriété est vraie....