salut

je ne comprends pas :: c'est simplement la factorisation de ton polynome ...

soit w une racine n-ième de l'unité ...

ensuite si z = w = 1 c'est faux ....

Bonjour,
En fait w=exp(2i/n) je me suis mal exprimé.  Donc w n'est jamais égal à 1, puisque k n'est ni égal à 0, ni égal à n.
L'égalité marche pour z=1, et c'est cela qui est surprenant.

notons s ton premier membre

s = z(zⁿ - 1)/(z - 1) ...

Remarquons que, pour tout :



A +

s=(zⁿ-1)/(z-1) ?
D'accord pour le cas z différent de 1: on obtient directement ce que l'on veut. Mais cette formule ne vaut pas pour z=1 non?

@DHilbert
effectivement, j'ai fait cela. Reste a demontrer que l'égalité est vérifiée pour z=1, ce qui est moins évident.

L'ensembles des racines -ièmes de l'unité n'est-il pas

?

Par suite, as-tu remarqué que le second membre de ton identité est



et non




A +

attention la somme de gauche démarre à k = 1 ....

2 polynomes égaux en une infinité de points sont égaux...

@Carpediem : Très juste !

A +

Comme le disait plus haut Carpediem, l'on a pour tout



A +

@carpediem
désolé mais je ne vois pas en quoi cela change le raisonnement

@Dhilbert
J'ai bien remarqué cela, et cela permet en développant le produit de polynomes d'obtenir (zⁿ-1)/(z-1) ce qui est égal a la somme des termes d'une suite géométrique (membre de gauche), à condition seulement que z différent de 1, car on a z-1 au dénominateur. C'est la que ca coince.
Mais je n'ai peut-etre pas compris ta remarque.

Oh oui tout juste j'ai oublié de multiplier par le premier terme de la suite...Malheureusement cela ne m'avance pas...

tu remarqueras que le produit de gauche commence à k = 1 donc w^k ne peut être 1 donc c'est le produit des z - racines n-ième de l'unité différente de 1 ...

le second membre vaut donc (zⁿ - 1)/(z - 1) ....

Il y a effectivement une erreur dans une expression: dans la somme de gauche, k varie de 0 a n-1. Meme probleme pour z=1...

peut-on alors avoir un énoncé complet et exact de l'égalité à montrer ....

@carpediem,
w^k ne peut etre 1 mais z lui peut etre 1!

Désolé pour l'énoncé mal recopié

je me moque de z pour l'instant ....

un énoncé correct m'importe plus ....

Oui, moi aussi ! Ton énoncé erroné nous a déjà occupé un certain temps, ne trouves-tu pas ?

A +

pour tout n Soit =exp(2i/n)
pour tout z
montrer
^k=(z-^k)

Encore une fois désolé pour la malheureuse erreur dans la somme :S

bon alors :::

w n'est pas un ...

si z n'est pas un 1 chacun des deux membres est (zⁿ - 1)/(z - 1)

justification ::

premier membre :: suite géométrique
deuxième membre : racine n-ième de l'unité

si z = 1

le premier membre est n ...


que vaut le deuxième mebre ??


il faut bien que tu travailles un peu tout de même ...

Pour tout

Soit une indéterminée. L'identité résulte alors de ce que les racines du polynôme ne sont autres que toutes les racines -èmes de l'unité, y compris . D'où l'identité voulue.

A +

En factorisant par la demi-somme et en utilisant la formule d'Euler, le deuxieme membre devient un produit d'exponentielles complexes et de sinus, mais j'ai l'impression de m'égarer...

@Dhilbert
Je ne suis pas sur de suivre...l'identité est-elle vraiment démontrée pour z=1?

Cf.

Ce lien est instructif.

A +

@Dhilbert
Mais la simplification par z-1 n'est autorisée que si z1.

Bien entendu, même pour , ce qui est normal !!
Pour tout , l'on a finalement :



Voilà, c'est tout !

A +

@Dhilbert
N'avez vous pas simplifié par 0 dans le cas ou z=1?

Tu auras remarqué que j'ai pris le soin de perndre dans . Maintenant se pose la question de savoir si l'on a encore l'égalité pour . Et on l'a ! Pourquoi ?

A +

Le terme de gauche devient n, mais je n'arrive pas a retomber sur mes pieds pour le membre de droite

Ma question de départ portait en fait pour le cas z=1. J'ai réussi a faire le cas plus général avec des méthodes similaires aux votres. =)
pour z=1 j'ai tenté la formule d'Euler.
Le colleur (car c'était un exo de colle) m'a dit que ce que je faisais pour z=1 permettait de démontrer qu'un produit de sinus et d'exponentielles était égal à n une fois seulement que l'on connait le résultat demandé...

on veut démontrer que (1 - w^k) = n avec 0 < k < n

tout d'abord les racines n-ième sont conjuguées par conséquent le produit est réel ...


d'autre part en désignant z' le conjugué de z qui est donc son inverse alors (1 - z)(1 - z') = -(z + z') = -2cos(2kpi/n)

l'astuce est d'alors de multpiplier le produit par sin(2pi(n-1)/n)

.... = 2 - (z + z') = ....

Merci
j'ai étudié cette piste et j'obtiens une différence de sinus pour (1-z)(1-z') dont je ne sais pas quoi faire. Je ne peux pas utiliser la formule sinp + sinq car j'ai un facteur 2 devant l'un des sinus. Je ne vois pas tres bien en quoi consiste votre astuce

Merci de votre patience =)

je ne crois pas .....

mets les calculs si tu veux que je t'aide !!!!

J'obtiens (2-2cos(2k/n)*sin(2(n-1)/n)=2sin[2(n-1)/n]-sin[2(n+k-1)]

passe par la formule de l'angle double .....

cos(2t) = ....

et écrit le produit complet avec l'indice k et ses bornes ....

Pour réunir les racines deux a deux j'ai commencé par distinguer la parité de n
n impair donne n-1 pair et la borne supérieure du produit devient (n-1)/2
on a alors le produit de 4sin²(k/n)*sin[2(n-1)/n]
ou bien 4sin²(k/n)*[cos(2/n)-sin(2/n)]

il m'est difficile de te répondre de tête ....

nul besoin de distinguer la parité car si n est pair la seule autre racine réelle est -1

enfin si .... pour l'indice .... il suffit d'écrire proprement ....

Merci beaucoup pour tes réponses et ta patience je vais essayer de trouver la fin moi-même.

bon courage

de rien