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Exo sous groupes
bonsoir
cet exo me pose probleme
soit le groupe D8={I2,R,R²,R3,S,RS,R²S,R3S} engendré par les deux matrices R et S suivante
0 -1 1 0
R= et S=
1 0 0 -1
On me demande de trouver tous les sousgroupe d'ordre 4 et de dire si ils sont distingué
Y a til une methode pour trouver ces sous-groupes?
J'en est trouver 3 en faisant des test et en utilisant l'ordre des elements de D8 mais bon c'est assez long et je ne sais pas si je les ait tous ( par exemple R est d'ordre 4 donc le groupe engendré par R en est un..)
Voici la méthode que je te propose
il faut effectivement commencer par chercher l'ordre des éléments de D8
Il y en a 2 d'ordre 4 et 5 d'ordre 2
Un sous groupe d'ordre 4 est soit de la forme (I,A,A²,A^3) où A est d'ordre 4 (et donc A^3 aussi) donc ça fait un seul sous groupe d'ordre 4 de ce type possible
Soit il est de la forme (I,A,B,C) où A,B,C sont d'ordre 2
on a AB et BA différents de I, différents de A et différents de B donc on a forcément AB=BA=C
On cherche donc 2 éléments A et B d'ordre 2 vérifiant AB est aussi d'ordre 2
Par tatonnement on en trouve un qui forme un premier sous groupe d'ordre 4 de la forme (I,A,B,C)
Puis s'il existe un deuxième sous groupe de ce type, il est de la forme (I,D,E,F) où un seul des 3 éléments D, E, F est confondu avec un des éléments A, B, C
(dit plus clairement, 2 sous groupes de ce type ne peuvent qu'avoir I et un autre élément en commun)
Il reste donc à multiplier les 2 éléments d'ordre 2 qui n'ont pas été pris, si leur produit donne A, B ou C on a notre deuxième sous groupe de ce type, et il ne peut pas y en avoir d'autre
Cette méthode permet donc de limiter le nombre de calculs
Je ne sais pas si on peut faire plus général comme raisonnement
Bonjour
Juste une remarque. Dans un groupe d'ordre 2n un sous-groupe d'ordre n est toujours distingué!
Dans celui-ci il y a 4 sous-groupes d'ordre 4; le cyclique engendré par R et 3 sous-groupes de Klein.
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