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exo sur groupes et sous-groupes
Bonjour, cet exo a pour but de me familiariser avec les groupes, mais je n'y comprends pas grand chose
Soit f un morphisme du groupe (G, *) d'élement neutre e dans le groupe (G', T) d'élement neutre e'
1) Prouver que f(G) est un sous-groupe de G'.
2) Prouver que l'ensemble image par f d'un sous groupe de G est un sous-groupe de G'
3) Prouver que le noyau de f ou Ker f est un sous-groupe distingué de f
4) Prouver que l'image réciproque par f d'un sous-groupe de G' est un sous-groupe de G
J'aifait quelques exos de base, mais là je n'y arrive pas. Si qqn pouvait m'aider, merci
Salut 
1)
* Soit ,
de
. Il existe
,
de
tels que
et
, alors :
*
* Pour , il existe x de G tel que
, on a alors :
2)
Je te laisse faire
ET la 1) que j'ai fait ne te suffit pas pour comprendre la démarche?
Il faut faire un peu d'effort mon vieux
2) Prouver que l'ensemble image par f d'un sous groupe de G est un sous-groupe de G'
Soit H un sous-groupe de G. On doit montrer que l'image par f de H, c'est-à-dire f(H) est un sous groupe de G'
Soit x', y' de Im(f). Il existe x,y de H tels que x' = f(x) et y'= f(y), alors :
x'Ty' = f(x)Tf(y) = f(x*y) appartient à Im(f)
* e' ) f(e) appartient à Im(f)
* Pour x' appartenant à Im (f), il existe x de H tel que x'=f(x), on a alors :
x' ^(-1)= f(x^(-1))
Im(f)
c'est ça ?
désolé, je ne vois pas la différence encore... Sinon, il suffit de rempla
cer Im(f) par f(H) dans ma proposition ?
oui, il faut remplacer IM(f) par f(H)
Dans la première proposition, on a montré que est un sous groupe de G', alors que dans la 2, on a montré que
est un sous groupe de G' ...
Soit x', y' de f(H). Il existe x,y de H tels que x' = f(x) et y'= f(y), alors :
x'Ty' = f(x)Tf(y) = f(x*y) appartient à f(H)
* e' ) f(e) appartient à f(H)
* Pour x' appartenant à f(H)), il existe x de H tel que x'=f(x), on a alors :
x' ^(-1)= f(x^(-1))appartient à f(H)
juste ?
si on laisse Im(f) quelle serait la différence entre la question 1 et 2?
Sais-tu ce qu'on te demande dans chaque question?
Im(f)=f(G)={y=f(x) tq x appartient à G }
f(H)={y=f(x) tq x appartient à H}
C4est du cours, le chapitre des ensembles et applications ...
ce que je fais là, je ne l'ai pas vu en cours, c'est pour nous faire découvrir ce qui nous attend, donc je ne sais pas forcément faire le minimum
En général, on considère une application f: E -> F
f(E)={y=f(x) tq x appartient à E }
Soit A une partie quelconque de E, alors :
f(A)={y=f(x) tq x appartient à A }
je vois pas un problème dans ces définitions ...
Dans la première question on a montré f(G) sous groupe, dans la deuxième on a montré f(H) sous groupe ...
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