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exo sur les matrices orthogonales

Posté par
mini-loup 16-06-08 à 18:15

Bonjour à tous, j'ai un exo à faire sur les matrices mais je ne sais pas par où commencer, voici l'énoncé:
soit MMn(R), montrer que
M est orthogonale et In+M est inversible Il existe AMn(R) antisym. telle que In-A est inversible et M=(In+A)(In-A)-1
montrer qu'alors la matrice A est unique et commute avec M, et que M est directe.
Si vous pouvez m'aider, merci d'avance.

Posté par
Pecere : exo sur les matrices orthogonales 16-06-08 à 18:41

Recherche au brouillon :
M(I_n-A)=(I_n+A) \\ (I_n+M)A=(M-I_n)

Au propre :
On pose A=(I_n+M)^{-1}(M-I_n) (possibile car I_n+M est inversible)
etc.

Pistes :
Pour montrer A antisymétrique : calcul de ^{t}A qui doit valoir -A.
Pour l'inversabilité de A : peut-être avec det(I_n-A)=det(I_n+A).det(M)
Unicité : méthode classique
Commutativité : bah on vérifie je pense
Directe : qu'entends-tu par là ? M\in SO(n) ?

Posté par
1 Schumi 1re : exo sur les matrices orthogonales 16-06-08 à 19:02

Citation :
Directe : qu'entends-tu par là ?  ?


det(M)=1 oui.


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