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Exponentielle complexe

Posté par
aspic1 04-09-07 à 21:16

Salut à tous, voici mon petite exo sur les complexes (plus ou moins)

- Soit teta et teta' deux réels, quand a t-on ei = ei' ?

Soit zp = exp([2i.p.]/ n) avec p dans Z et n un entier non nul.

- Quelle est la valeur de (zp)^n ?
- Vérifier que zp = zr sachant que p = nq + r avec r positif et inférieur à n - 1 (division euclidienne de p par n avec q comme quotient et r comme reste).
- Montrer que z0, z1,..., zn - 1 solnt deux à deux distincts.

Pour la question 1, elle me parait bete... mais je dirais qu'il faut que teta = teta' pour que l'équalité soit vraie.

Pour la question 2 ==> (zp)^n = exp(2i.p.)

Pour les deux autres questions, j'ai rien compris du tout !

Merci pour votre soutient

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:23

re aspic1

Citation :
Pour la question 1, elle me parait bete... mais je dirais qu'il faut que teta = teta' pour que l'équalité soit vraie.


pas seulement. Il y a d'autres possibilités.

Citation :
Pour la question 2 ==> (zp)^n = exp(2i.p.)


ça peut se simplifier

Citation :
Pour les deux autres questions, j'ai rien compris du tout !


Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:24

Salut

pour la première question je ne suis pas totalement d'accord avec toi

e^{i\theta}=e^{i\theta '} \Rightarrow \{cos(\theta)=cos(\theta ')\\sin(\theta)=sin(\theta ')\Rightarrow \{\theta\equiv\theta ' [2\pi]\\ou\\\theta\equiv -\theta ' [2\pi]\\ou\\ \theta\equiv \pi-\theta ' [2\pi]

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:25

Oups, salut Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:26

pas de problème monrow ! (salut)

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:32

Re, Kaiser

pour la question 1, c'est par teta = teta' modulo [2pi] ? car je vois pas trop

pour la question 2, je pense qu'on peut simplifier avec 2pi donc on obtient eip (mais c'est des vagues souvenirs, il faut que je me remette au boulot)

pour les question 3 et 4, je ne vois pas du tout par où aller, je suis un peu déboussolé !

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:41

Citation :
pour la question 1, c'est par teta = teta' modulo [2pi] ? car je vois pas trop

regarde ce qu'a fait mornrow

Citation :
pour la question 2, je pense qu'on peut simplifier avec 2pi donc on obtient eip (mais c'est des vagues souvenirs, il faut que je me remette au boulot)


non.
intéresse-toi aux parties réelle et imaginaire.

Citation :
pour les question 3 et 4, je ne vois pas du tout par où aller, je suis un peu déboussolé !


pour la question 3), tu sauras y répondre dès que tu auras la réponse à la question 2).

Pour la question 4), si k et k sont deux entiers compris entre 0 et n-1 tels que \Large{z_k=z_{k'}} montre que k=k' (en utilisant la première question).

Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 04-09-07 à 21:53

pour la question 1, je ne comprends pas les deux dernières solutions... car par exemple pour la deuxieme, la fonction sinus est impaire donc sin(- teta) = - sin(teta)...

pour la question 2, je suis arrivé la : e2.p.Pi (car ei = 1)

pour la question 3, bah toujours dans le brouillard mais c'est parce qu'il doit etre 22h du soir

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 22:06

Citation :
pour la question 1, je ne comprends pas les deux dernières solutions... car par exemple pour la deuxieme, la fonction sinus est impaire donc sin(- teta) = - sin(teta)...


la deuxième est relative à l'égalité des cosinus et la dernière est relative à l'égalité des sinus.
cela dit, on peut tout réunir en une seule condition.


Citation :
pour la question 2, je suis arrivé la : e2.p.Pi (car ei = 1)


\Large{e^{i}} ne vaut pas 1. C'est \Large{e^{2i\pi}} qui vaut 1.
Encore une chose : si z est un complexe et m et m' des entiers, on n'a pas \Large{z^{mm'}=z^mz^{m'}}

Citation :
pour la question 3, bah toujours dans le brouillard mais c'est parce qu'il doit etre 22h du soir


C'est parce que tu n'as pas encore la réponse à la question 2.

Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 04-09-07 à 22:15

question 1 : Ok mais je pensais qu'il fallait que les deux equations soient vraies et pas seulement une seule...

question 2 : je viens de relire mon cours de Term et j'ai compris c'est de ma faute. donc finalement c'est ep la réponse.

question 3 : Je ne vois toujours pas le rapport avec le résultat du 2...

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 22:25

Citation :
question 1 : Ok mais je pensais qu'il fallait que les deux equations soient vraies et pas seulement une seule...


oui, c'est vrai.
En fait, on devrait plutôt dire :

(\Large{\theta=\theta'[2\pi]} ou \Large{\theta=-\theta'[2\pi]})

et

(\Large{\theta=\theta'[2\pi]} ou \Large{\theta=\pi-\theta'[2\pi]})

C'est-à-dire :

\Large{\theta=\theta'[2\pi]}

ou

(\Large{\theta=-\theta'[2\pi]} et \Large{\theta=\pi-\theta'[2\pi]})


Remarque que cette deuxième n'est jamais vérifié (sauf pour certains cas).

Citation :
question 2 : je viens de relire mon cours de Term et j'ai compris c'est de ma faute. donc finalement c'est ep la réponse.


non plus !

N'oublie pas ce que j'ai dit :

Citation :
Encore une chose : si z est un complexe et m et m' des entiers, on n'a pas \Large{z^{mm'}=z^mz^{m'}}



Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 04-09-07 à 22:45

Ok pour la question 1

Pour la 2, je trouve 1 !!

Donc pour la 3 j'en conclu que (zr)^n = 1 = z(p)^n donc zr = zp...

J'espère que c'est bon

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 23:00

un petit raisonnement pour la 3)

3$z_p=e^{\frac{2ip\pi}{n}}=e^{\frac{2i(nq+r)\pi}{n}}=e^{2iq\pi+\frac{2i\pi r}{n}}=e^{2iq\pi}\time e^{\frac{2i\pi r}{n}}=e^{\frac{2i\pi r}{n}}=z_r

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 04-09-07 à 23:20

et bah oui c'etait tout bete
La suite pour demain, là je vais dormir je commence à avoir mal au crane ! En tout cas merci à vous deux pour votre aide précieuse.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 23:22

Pour ma part je t'en prie

(comme dirait Kaiser )

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 04-09-07 à 23:22

Pour la mienne, aussi !

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 05-09-07 à 18:59

re, et oui j'ai bossé le mercredi aprem ^^

Citation :
Pour la question 4), si k et k sont deux entiers compris entre 0 et n-1 tels que  montre que k=k' (en utilisant la première question)
.
Donc je ne vois pas le rapport avec la question car on me demande de prouver que z(0), z(1), z(2)..., z(n-1) sont deux à deux distincts.

- Quels sont les entiers p tels que z(p) appartient à R (on discutera selon la partiré de n). ==> Je pensais essayer de résoudre z(p) = [z(p)] "barre" (je sais pas faire le synbole). mais je pense pas que ce soit la bonne route.

Voila pour l'instant. Je suis vraiment débordé en deux jours, c'est vraiment un rythme de fou la prépa

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 05-09-07 à 21:50

Citation :
Donc je ne vois pas le rapport avec la question car on me demande de prouver que z(0), z(1), z(2)..., z(n-1) sont deux à deux distincts.


ça veux bien dire que si k et k' sont des entiers compris entre 0 et n-1 avec k différent de k', alors \Large{z_k} est différent de \Large{z_{k'}} ?
Ce que je propose de montrer est tout simplement la contraposée, ce qui revient exactement au même.

Citation :
- Quels sont les entiers p tels que z(p) appartient à R (on discutera selon la partiré de n). ==> Je pensais essayer de résoudre z(p) = [z(p)] "barre" (je sais pas faire le synbole). mais je pense pas que ce soit la bonne route.


tu peux faire comme ça.
Tu peux aussi dire que leur partie imaginaire doit être nulle.

Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 05-09-07 à 23:17

quelque chose m'etonne :

z(p) = exp([2.i.p.Pi]/n) = exp(2.i.Pi)p/n = 1p/n = 1 si n différent de 0... j'ai du faire une erreur...

Sinon je vois pas comment prouver que la partie imaginaire de z(p) est nulle. Il faut dire que je vois pas où est la partie imaginaire dans z(p).

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 05-09-07 à 23:27

Citation :
z(p) = exp([2.i.p.Pi]/n) = exp(2.i.Pi)p/n = 1p/n = 1 si n différent de 0... j'ai du faire une erreur...


Effectivement ! Lorsque l'on a affaire à des complexes, on ne peux sortir un exposant que lorsqu'il est entier.
Ainsi, le n reste là où il est.

Citation :
Sinon je vois pas comment prouver que la partie imaginaire de z(p) est nulle.


être réel , c'est bien équivalent à avoir une partie imaginaire nulle, non ?

Citation :
Il faut dire que je vois pas où est la partie imaginaire dans z(p).


C'est une exponentielle complexe.
Si \Large{\theta} est un réel, quelle sont les parties réelle et imaginaire de \Large{e^{i\theta}} ?

Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 17:32

Citation :
C'est une exponentielle complexe.
Si est un réel, quelle sont les parties réelle et imaginaire de ?

la partie imaginaire est sin([2.p.Pi]/n)

Et le sinus d'annule en 0 et Pi [2Pi] (cercle trigo)

Donc (2.p.Pi) / n = 0 ou (2.p.Pi) / n = Pi

D'où p = 0 ou p = n/2 donc si n est pair alors p appartient à Z sinon p est réel

Don Zp appartient à R si et seulement si  p = n/2 donc seulement dans le cas ou n est pair.

Qu'en penses tu ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 18:20

Citation :
la partie imaginaire est sin([2.p.Pi]/n)

Et le sinus d'annule en 0 et Pi [2Pi] (cercle trigo)


oui

Citation :
Donc (2.p.Pi) / n = 0 ou (2.p.Pi) / n = Pi


il faut préciser que ceci est vrai car, comme p est un entier compris entre 0 et n-1, \Large{0\leq \frac{2p\pi}{n} < 2\pi}.

Citation :
D'où p = 0 ou p = n/2 donc si n est pair alors p appartient à Z sinon p est réel

Don Zp appartient à R si et seulement si p = n/2 donc seulement dans le cas ou n est pair.


ce n'est pas tout à fait exact.
l'un des \Large{z_p} est toujours réel, que n soit pair ou pas (pour p=0).
Seulement, il n'y en a pas le même nombre à chaque fois : en effet, la deuxième condition ne peut être satisfaite que si n est pair (du coup, ça t'en donne une deuxième dans ce cas).
Si n est impair, il n'y en a qu'une (p=0).
As-tu saisi ?

Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 19:09

O n'est pas considéré comme  un nombre pair ? c'est pour ca que j'ai regroupé les deux conditions en une seule...

Dans un cas, p = 0, z(p) est toujours réel.
Dans l'autre cas, si n est pair alors c'est bon sinon c'est pas bon...

Donc selon moi la réponse c'est si n est pair (cela inclut donc 0).

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 19:19

Citation :
O n'est pas considéré comme un nombre pair ?


n ne peut pas être nul.

Citation :
c'est pour ca que j'ai regroupé les deux conditions en une seule...


non, on ne peut pas. on a s



regarde ce que tu as écrit plus haut

Citation :
- Quels sont les entiers p tels que z(p) appartient à R (on discutera selon la partiré de n). ==> Je pensais essayer de résoudre z(p) = [z(p)] "barre" (je sais pas faire le synbole). mais je pense pas que ce soit la bonne route.


Citation :
Donc selon moi la réponse c'est si n est pair (cela inclut donc 0).


tu ne réponds pas à la question.

Il faut se fixer n et dire pour quels entiers p compris entre 0 et n-1, ce complexe est réel.



La réponse attendue serait plutôt celle-ci, à mon sens :

si n est pair, les entiers p recherchés sont 0 et n/2.
Si n est impair, seul p=0 convient.


Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 19:33

oui c'est ce que j'avais compris je me suis mal exprimé...

- Démontrer que z(p) [barre] = z(n-p)

==> J'ai trouvé la solution en partant de z(n-p) mais as t-on le droit ? (de toute maniere je peux tricher en "remontant" les egalités).

Posté par
kaiser Moderateurre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 19:42

Pourquoi n'aurais-tu pas le droit ?
Tu peux partir de n'importe lequel des deux.

Kaiser

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 20:29

ok merci.

Dernière question : Montrer que (pour p variant de 0 à n - 1) z(p) = 0 et la par contre je suis coincé...

Merci pour toute tes aides !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 21:01

euuuuuh, c'est un résultats de cours

la somme des racines n-ième de l'unité est nulle

une démo?

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 21:10

oups... désolé mais ca me dit rien du tout !
oui je veux bien une démo si ca te dérange pas ;p

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 21:18



Allez ok

Alors on a:

3$\Bigsum_{p=0}^{n-1}e^{\frac{2ip\pi}{n}}=\Bigsum_{p=0}^{n-1}\(e^{\frac{2i\pi}{n}}\)^p=\frac{1-\(e^{\frac{2i\pi}{n}}\)^n}{1-e^{\frac{2i\pi}{n}}}=\frac{1-e^{2i\pi}}{1-e^{\frac{2i\pi}{n}}}=0

C'est bon?

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 21:53

je ne comprends pas le passage de 2 à 3 sinon c'est OK pour le reste

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 21:55

Une somme de termes en progression géométrique

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 22:00

Soit je suis bete soit j'ai jamais vu ca de ma vie... peux tu etre plus explicites

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 22:01

ben tu sais bien que: 3$1+q+q^2+q^3+...+q^n=\frac{1-q^n}{1-q}

Posté par
aspic1re : Exponentielle complexe 06-09-07 à 22:07

mais oui lol merci beaucoup

Et merci à Kaiser aussi

Bonne soirée !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle complexe 06-09-07 à 22:09

Pas de prob


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