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Exponentielle de matrice

Posté par
infophile 30-01-09 à 17:44

Bonjour ;

J'ai ces trois matrices dont je dois calculer l'exponentielle :

4$ \red \fbox{D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} ; E=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix} ; F=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

Le but du jeu est de vérifier que si A et B commutent alors 3$ \fbox{\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)}

\fbox{*} Pour D pas de problème elle est diagonale donc 4$ \blue \fbox{\exp(D)=\begin{pmatrix}e&0&0\\0&e^2&0\\0&0&e^3\end{pmatrix}}

\fbox{*} Pour F elle est nilpotente d'ordre 3 donc 4$ \blue \fbox{\exp(F)=I_3+F+\frac{F^2}{2!}=\begin{pmatrix}1&1&\frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}

\fbox{*} Pour E je l'ai diagonalisé et j'obtiens : 4$ \fbox{E=\underbrace{\begin{pmatrix}1&1&\frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}_{P}\underbrace{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}_{D}\underbrace{\begin{pmatrix}1&-1&\frac{1}{2}\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}_{P^{-1}}}

En passant à l'exponentielle on a donc 3$ \fbox{\exp(E)=P\exp(D)P^{-1}} soit 4$ \red \fbox{\exp(E)=\begin{pmatrix}e&e^2-e&\frac{e+e^3}{2}-e^2\\0&e^2&e^3-e^2\\0&0&e^3\end{pmatrix}}

\fbox{*} Or on a 3$ \blue \fbox{E=D+F} donc 4$ \red \fbox{\exp(E)=\exp(D)\exp(F)=\begin{pmatrix}e&e&\frac{e}{2}\\0&e^2&e^3\\0&0&e^3\end{pmatrix}}

Où est l'erreur ?

Merci

Posté par
raymond Correcteurre : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 17:55

Bonsoir.

Je n'ai pas vérifié tes calculs.

Cela montre que si D et F ne commutent pas, alors exp(D+F) exp(D).exp(F)

Posté par
lafol Moderateurre : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 17:56

bonsoir kévin
dis-moi, c'est moi ou D et F ne commutent pas ?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 17:59

Bonsoir raymond ;

Oh le con j'ai cru qu'elles commutaient..

Merci

Posté par
antho07re : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 18:00

D et F commutent ?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 18:00

Salut lafol !

Oui c'est vraiment stupide comme erreur

Posté par
antho07re : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 18:01

Désolé j'avais pas actualisé la page ,j'arrive après la guerre du coup ....

Posté par
raymond Correcteurre : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 18:09

Bonjour tout le monde.

Infophile : qui n'a jamais commis d'erreur ?

Comme ce doit être triste d'être infaillible !

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 19:05

J'ai une autre question toujours avec ces exponentielles de matrices.

\fbox{*} Soit 3$ \fbox{A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, démontrer que la matrice 3$ \blue \fbox{\exp(A)-I_n} peut s'écrire 3$ \red \fbox{A(I_n+S_A)}

Réponse : 4$ \fbox{\exp(A)-I_n=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}-I_n=\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{A^k}{k!}=A.\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{A^{k-1}}{k!}=A(I_n+\underbrace{\Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{A^{k-1}}{k!}}_{S_A})}

\fbox{*} Etablir qu'il existe un réel \alpha>0 tel que 3$ \blue \fbox{||A||<\alpha\Longright ||S_A||<1} où la norme opérateur est 3$ \(||A||=\sup_{X\in \mathbb{R}^n-\{0\}}\frac{||AX||}{||X||}\)

Réponse : 4$ \fbox{||\Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{A^{k-1}}{k!}||\le \Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{||A||^{k-1}}{k!}\le \Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{\alpha^{k-1}}{k!}=\frac{1}{\alpha}\Bigsum_{k=2}^{\infty}\frac{\alpha^k}{k!}=\frac{1}{\alpha}(e^{\alpha}-\alpha-1)}

Le problème est qu'on n'a pas unicité de \alpha, par exemple l'intervalle ]0,1] convient.

Alors quand dans une question ultérieure l'énoncé précise : \alpha étant le réel défini précédemment.

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
raymond Correcteurre : Exponentielle de matrice 30-01-09 à 19:38

Je viens de regarder.

En fait, 2$\textrm\alpha doit vérifier :

2$\textrm e^{\alpha} < \ 2\alpha+1

Donc, tout 2$\textrm\alpha tel que 0 < 2$\textrm\alpha < 1,2564... convient

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 09-02-09 à 10:32

Bonjour ;

Soit un réel x>0, A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})  et T(A,x) la matrice définie par :

4$ \red \fbox{T(A,x)=\frac{1}{x^2}(\exp(xA)-I_n-xA)}

\fbox{*} Prolongement par continuité de \fbox{x\to T(A,x)} en 0.

J'utilise le développement en série : 4$ \fbox{\exp(xA)=I_n+xA+\frac{x^2}{2}A^2+o(x^2)} d'où 4$ \blue \fbox{\lim_{x\to 0}T(A,x)=\frac{1}{2}A^2}

\fbox{*} Donner un majorant de ||T(A,x)|| en utilisant une expression intégrale de T(A,x).

Un coup de main ?

Posté par
gui_toure : Exponentielle de matrice 09-02-09 à 12:12

Salut kéké

Ce serait pas plutôt 3$\exp(xA)=...+A^2o(x^2) ? (un physicien dirait que c'est pas homogène ^^)

Pour l'expression intégrale, tu peux pas appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale ?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 09-02-09 à 14:15

Salut guigui

Oui j'ai oublié le A^2 dans le petit o

4$ \red \fbox{T(A,x)=\frac{1}{x^2}A^2\Bigint_{0}^{x}(x-t)\exp(tA)dt}

Tu confirmes ? Tu donnerais quoi comme majorant simple de cette expression ?

Posté par
jeansebre : Exponentielle de matrice 09-02-09 à 16:50

Bonjour

Je ne sais pas trop, mais comment considères tu exp (tA)? Comme une fonction vectorielle?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 09-02-09 à 18:00

Bonjour jeanseb

La fonction vectorielle est 4$ \blue \fbox{f_A : \mathbb{R}\to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\\t\to \exp(tA)=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}A^k}

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 09:23

Up

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 13:27

Guigui an idea 4$ ?

Posté par
gui_toure : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 13:30

Ba en fait vu que exp(tA) est une matrice et qu'on intègre, ça ne me botte pas trop, et puis j'ai délibérément pas appris ce chapitre, j'aime pas ^^

Donc d'abord je revois le cours avant de dire une bêtise !

Posté par
Camélia Correcteurre : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 14:48

Bonjour

Ce qui est sur c'est que pour t > 0, on a ||e^{tA}||\leq e^{t||A||} ce qui a l'air de mener à un calcul d'intégrale réelle.

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 15:25

C'est rigolo je trouve : 4$ \red \fbox{||T(A,x)||\le \frac{\exp(||A||x)-||A||x-1}{x^2}}

Posté par
Camélia Correcteurre : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 15:45

... ce qui parait tout à fait logique, non? Attends, il ne manque pas un 1/2 quelque part?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 10-02-09 à 16:39

Euh j'ai vérifié je ne pense pas ?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 11-02-09 à 11:06

J'aurais besoin d'une petite vérification pour la suite.

\fbox{1} J'ai montré que pour deux matrices données 3$ B et 3$ H de 3$ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et k\ge 1 on avait l'inégalité 4$ \blue \fbox{||(B+H)^k-B^k||\le k||H||.(||B||+||H||)^{k-1}}

\fbox{2} On remarque que : 4$ \fbox{\(I_n+\frac{1}{k}A\)^k-\exp(A)=\(\underbrace{\exp\(\frac{1}{k}A\)}_{B}-\underbrace{\frac{1}{k^2}T(A,\frac{1}{k})}_{H}\)^k-\(\exp(\frac{1}{k}A)\)^k}

\fbox{3} On utilise \fbox{1} : 4$ \red \fbox{||(I_n+\frac{1}{k}A)^k-\exp(A)||\le \frac{1}{k}||T(A,\frac{1}{k})||.\(\exp(\frac{1}{k}||A||)+\frac{1}{k^2}||T(A,\frac{1}{k})||\)^{k-1}}

Ensuite je pose \fbox{x=\frac{1}{k}} pour me ramener en 0 et j'utilise la majoration de T(A,x) :

4$ \blue \fbox{||(I_n+\frac{1}{k}A)^k-\exp(A)||\le x.\(\frac{\exp(||A||x)-||A||x-1}{x^2}\).(2\exp(||A||x)-||A||x-1)^{\frac{1}{x}-1}}

La première parenthèse tend vers \frac{1}{2}||A||^2 et la seconde vers \exp(||A||) (on fait un DL).

On en conclut 4$ \red \fbox{\lim_{k\to +\infty}(I_n+\frac{1}{k}A)^k=\exp(A)}

Juste ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Exponentielle de matrice 11-02-09 à 14:16

Oui, c'est juste! (et encore plus technicolor que elhor)!

La morale de l'histoire: tout ce que l'on fait avec des séries de matrices se généralise assez facilement en norme à partir des mêmes séries... et si on travaille au voisinage de I ça se passe assez bien parceque I commute avec tout le monde. La galère commence si on a besoin de travailler au voisinage d'autre chose que d'une homothétie, justement à cause du manque de commutativité!

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 11-02-09 à 15:22

Merci bien !

\fbox{*} On définit ensuite la matrice 4$ \fbox{U(A,B,x)=\frac{1}{x^2}[\exp(xA).\exp(xB)-I_n-x(A+B)]}.

\fbox{*} J'ai montré que la fonction x\to U(A,B,x) se prolonge par continuité en 0 : 4$ \red \fbox{\lim_{x\to 0}U(A,B,x)=A^2+AB+B^2}

\fbox{*} Et de même j'ai donné un majorant de sa norme : 4$ \blue \fbox{||U(A,B,x)||\le \frac{1}{x^2}||A+B||^2\Bigint_{0}^{x}(x-t)\exp[t(||A||+||B||)]}

\fbox{*} Je dois ensuite déterminer la limite de 4$ \fbox{P_k=\[\exp(\frac{1}{k}A).\exp(\frac{1}{k}B)\]^k-\[I_n+\frac{1}{k}(A+B)\]^k}

Donc je pensais réutiliser la même méthode que précédemment en écrivant :

4$ \fbox{P_k=\[\exp(\frac{1}{k}A).\exp(\frac{1}{k}B)\]^k-\[\exp(\frac{1}{k}A).\exp(\frac{1}{k}B)-\frac{1}{k^2}U(A,B,\frac{1}{k})\]^k}

Et réutiliser l'inégalité, sauf que là ça se simplifie pas aussi bien à cause de ||A+B||\neq ||A||+||B||

Comment faire ?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 14:29

Siou plaît une idée ?

Posté par
gui_toure : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 14:34

salut

idée au pif ak-bk=(a-b)(...) ça donne rien ?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 14:48

Saloute guigui

A priori non la norme de ce truc ne vas pas permettre de conclure, du moins je pense.

Posté par
gui_toure : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 15:01

Oui non c'était une mauvaise idée en fait ^^

On voit que Pk tend vers 0 mais comment le montrer ... l'inégalité triangulaire ne sera pas très utile a priori ..

je regarde

Posté par
perroquetre : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 15:56

Bonjour, kévin

Tu utilises l'inégalité que tu avais indiquée plus haut:
3$ ||M+H||^k-||M||^k \leq k \ ||M||\ (||M||+||H||)^{k-1}
On a donc:
3$ ||P_k|| \leq \frac{1}{k} ||U(A,B,\frac{1}{k})||\ ||\exp(A/k)\exp(B/k)||^{k-1}

Il reste à montrer que le terme en facteur de 1/k est majoré indépendamment de k. Pour U(A,B,1/k), la majoration que tu as trouvée va te permettre de montrer qu'elle est majorée indépendamment de k.
Pour l'autre terme:
3$||\exp(A/k)\exp(B/k)||^{k-1}\leq \left(\exp\left(\frac{||A||}{k}\right) \exp\left(\frac{||B||}{k}\right)\right)^k=\exp\left( ||A||\ +\ ||B||\right)
(ma majoration est trop rapide, il faut la détailler)

Pas facile, ce sujet des Mines; je peux me tromper sur m'origine du problème parce que ça fait longtemps que je ne l'ai pas regardé et je ne suis pas retourné le voir, je me suis contenté du résumé que tu avais fourni dans tes posts pour chercher la solution que tu demandais.

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 16:42

Bonjour perroquet

Pour la majoration :

4$ \blue \fbox{||\exp(\frac{1}{k}A)\exp(\frac{1}{k}B)||^{k-1}\le ||\exp(\frac{1}{k}A)||^{k-1}||\exp(\frac{1}{k}A)||^{k-1}\le \(\exp \frac{||A||}{k}\)^{k-1}\(\exp \frac{||B||}{k}\)^{k-1}=\exp\(\frac{k-1}{k}||A||\)\exp\(\frac{k-1}{k}||B||\)}

Et comme \fbox{\frac{k-1}{k}\le 1} on a finalement 4$ \red \fbox{||\exp(\frac{1}{k}A)\exp(\frac{1}{k}B)||^{k-1}\le \exp(||A||+||B||)}

C'est juste ?

Merci beaucoup ! C'est bien le sujet des Mines 91.

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 16:44

Une autre petite question sur laquelle je bloque :

\fbox{*} Déterminer le DL en \frac{1}{k} de 4$ \rm \fbox{Det\(I_n+\frac{1}{k}A\)}

Je n'ai jamais eu à dériver un déterminant donc je ne sais pas trop comment m'y prendre.

Posté par
perroquetre : Exponentielle de matrice 12-02-09 à 18:36

On va utiliser le plynôme caractéristique de A.
3$ \det(I_n+xA)=x^n \det\left(A+\frac{1}{x}I_n\right)= x^n \chi_A\left(-\frac{1}{x}\right)

3$ \chi_A(t)=(-1)^n \left(t^n-{\tr}(A)\ t^{n-1}+\ldots\right)

Donc, au voisinage de 0:
3$ \det(I_n+xA)=1+x\ {\rm tr}(A) +o(x)

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 13-02-09 à 10:38

Bien vu ! Ca je n'y aurais pas pensé, merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Exponentielle de matrice 13-02-09 à 15:03

Salut tout le monde

Kévin>> Je suis intéressé par ton sujet, tu peux me dire c'est quelle épreuve s'il te plait?

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 16-02-09 à 13:27

Quelque chose qui après coup m'embête, perroquet :

Comment utilises-tu l'inégalité pour arriver à cette majoration : ||P_k||%20\leq%20\frac{1}{k}%20||U(A,B,\frac{1}{k})||\%20||\exp(A/k)\exp(B/k)||^{k-1}

Il s'agit des Mines 1991 momo

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 18-02-09 à 12:09

Up

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 22-02-09 à 20:12

Dernier up, perroquet ?

Posté par
jeansebre : Exponentielle de matrice 22-02-09 à 20:18

Pas de chance, c'est jeanseb

Bonsoir Kevin

Comment va? Comment se présente le mois de mai et la suite (si je peux faire digresser un peu le topic).

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 23-02-09 à 16:44

Bonsoir jeanseb

Ca va et toi ?

Euh les concours ça se présente plutôt mal, j'ai des progrès à faire, il y a très peu de chance que ça passe cette année.

Posté par
jeansebre : Exponentielle de matrice 23-02-09 à 17:28

Aïe! Tu es sûr? En tous cas on pense à toi!

Posté par
infophilere : Exponentielle de matrice 23-02-09 à 17:33

Oui il faudrait vraiment un gros coup de bol, cette année je me situe en moitié de classe, et c'est clairement pas suffisant pour espérer une ENS.

Mais bon je suis prêt à refaire une année s'il faut, et si ça passe toujours pas en 5/2 je ferai certainement un magistère, je pense qu'enseigner me plairait bien.

Merci c'est sympa jeanseb

Posté par
jeansebre : Exponentielle de matrice 23-02-09 à 17:52

Posté par
Camélia Correcteurre : Exponentielle de matrice 24-02-09 à 14:18

Rebonjour et coucou jeanseb

>Kevin Il ne faut surtout pas partir vaincu d'avance... Continue à travailler à ton rythme (qui ne me parait pas si mal que ça) et tu verras bien... mais il faut y croire!


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