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exponentielle de matrice

Posté par
imaginaire 24-04-09 à 15:46

bonjour je ne comprends pas comment procéder pour calculer l'exponentielle de :
A=\begin{pmatrix}0&t\\ \\ -t&0\\ \\ \end{pmatrix}
en fait je trouve :
A^{2}=\begin{pmatrix}-t^{2}&0\\ \\ 0&-t^{2}\\ \\ \end{pmatrix} , A^{3}=\begin{pmatrix}0&-t^{3}\\ \\ t^{3}&0\\ \\ \end{pmatrix} , A^{4}=\begin{pmatrix}t^{4}&0\\ \\ 0&t^{4}\\ \\ \end{pmatrix} , A^{5}=\begin{pmatrix}0&t^{5}\\ \\ -t^{5}&0\\ \\ \end{pmatrix}   etc...

Posté par
Camélia Correcteurre : exponentielle de matrice 24-04-09 à 15:59

Bonjour

Oui, c'est bien ça.

Donc

\Large e^A=\(\begin{array}{cc} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ -\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}\end{array}\)

et tu dois reconnaitre les sommes des séries.

Posté par
imaginairere : exponentielle de matrice 24-04-09 à 18:19

en fait je ne comprends pas comment tu as fait pour avoir les 4 sommes en partant de ce que j'ai trouvé :s
en effet on reconnait cos et sin

Posté par
MatheuxMatoure : exponentielle de matrice 24-04-09 à 18:35

bonjour...

regarde coefficient par coefficient.

eA=1+A+A2+A3+A4+ ... + An + ...

Posté par
MatheuxMatoure : exponentielle de matrice 24-04-09 à 18:38

j'ai marqué "1" pour la matrice identité bien sûr !

prends par exemple le premier coefficient en haut à gauche.

il vaut 0 sur toutes les puissances impaires
et sur la puissance paire "2n" de A, il faut (-1)nt2n
tu sommes cela pour n variant de 0 à l'infini.

à l'avenant pour les autres...

mm

Posté par
MatheuxMatoure : exponentielle de matrice 24-04-09 à 18:39

oh la la...ma formule d'exponentielle est évidemment fausse ! j'ai oublié d'affecter à chaque puissance n de A le coefficient 1/(n!) ....

excuse

Posté par
Camélia Correcteurre : exponentielle de matrice 25-04-09 à 15:23

Si tu écris A=tB, tes formules montre que la suite B^n est périodique de période 4, ensuite c'est clair!


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