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Exponentielle de matrice

Posté par
H_aldnoer 08-11-09 à 23:21

Bonsoir,

j'aimerai juste avoir votre avis sur une rédaction que voici : on me demande de prouver que \Large exp(sM) = I_n + sM + O(s^2) pour \Large s voisin de 0 et \Large M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

J'ai pris une quelconque norme matricielle \Large ||.|| sur \Large\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et j'ai dit que \Large ||exp(sM) - I_n - sM||\le \Bigsum_{n=2}^{+\infty}\frac{|s^n|}{n!}||M||^n=exp(|s| ||M||)|s^2|.

Donc on a bien \Large ||exp(sM) - I_n - sM||\le C|s^2| avec \Large C = exp(|s| ||M||), d'où le résultat.

Est-ce correct ?

Posté par
tringlaridore : Exponentielle de matrice 08-11-09 à 23:52

Bonjour,

Non...

La première inégalité vient de la sous-additivité de la norme (ou l'inégalité triangulaire). C'est OK. Par contre l'égalité qui suit est fausse !

D'autre part (beaucoup plus grave), la constante que tu obtiens dépend (exponentiellement !!) de s... ce n'est pas vraiment une constante.

Bref, après la première inégalité ça part en vrille

Posté par
H_aldnoerre : Exponentielle de matrice 09-11-09 à 00:38

Je fatigue! Je m'en vais dormir, je reviendrais demain!

Posté par
tringlaridore : Exponentielle de matrice 09-11-09 à 00:42

Bonne nuit alors...

Posté par
H_aldnoerre : Exponentielle de matrice 09-11-09 à 14:14

Bonjour!

Reprenons : on a \Large ||exp(sM) - I_n - sM||\le \Bigsum_{n=2}^{+\infty}\frac{||sM||^n}{n!}.

Puis : \Large \Bigsum_{n=2}^{+\infty}\frac{||sM||^n}{n!} = \Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{||sM||^n}{n!}-1-|s|||M|| = exp(|s||M||)-1-|s|||M||.

Donc il faut montrer que, lorsque s tend vers 0, \Large exp(|s||M||)-1-|s|||M|| est plus petit que \Large K s^2, avec \Large K constante et là je n'y arrive pas!

J'ai reconnu la forme \Large e^u-1-u = o(u) mais je n'arrive pas à conclure :/

Posté par
Narhmre : Exponentielle de matrice 09-11-09 à 14:43

Bonjour,

Oui c'est bien ca.
Tu peux utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange pour montrer que :
\Large \forall s\in \mathbb{K}, \ \forall M\in\mathcal{M}_n({\mathbb{R}}) ,  4$ \| e^{|s|||M||}-1-|s|||M||\|\leq \fr{1}{2}|s|^2||M||^2\exp(|s|||M||)

ensuite la continuité de la fonction exponentielle en 0 te donne ce que tu attends, sauf erreurs.

Posté par
H_aldnoerre : Exponentielle de matrice 09-11-09 à 14:56

Merci.

Posté par
Narhmre : Exponentielle de matrice 09-11-09 à 14:58

De rien


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